Р. Марч Физика для поэтов

Суперпозиция (наложение) волн

Существует универсальный закон, который играет решающую роль в исследовании волновых процессов. Роль этого закона сопоставима со значением законов Ньютона в механике. Этот закон обычно называют: принцип суперпозиции. Само название напоминает уже рассмотренный ранее (Глава 3) принцип суперпозициив механике, однако, если в механике этот принцип является лишь средством для рассмотрения сложных движений, то в теории волн этот принцип имеет основополагающее значение. В волновой теории принцип суперпозиции отражает тот факт, что присутствие одной волны не изменяет способность среды нести другую волну.

Таким образом, две волны, распространяющиеся в одной и той же среде, могут пройти сквозь друг друга, не изменив своей формы. Простой пример для случая двух волн, бегущих по струне навстречу друг другу показан на рис. 7-3. В момент встречи волн маленькая волна проявляет себя просто как небольшой провал на большой волне.

Если использовать не качественные(“маленькая волна”, “небольшой провал”), а количественные характеристики, то волновой принцип суперпозиции позволяет утверждать, что смещение, произведенноенесколькимиволнами воднойи той же точке,являетсясуммойсмещений, производимых каждой из волн. Наиболее интересно применение этого принципа к волнам одинакового размера (одинаковой амплитуды1, а,). Рис. 7-4 иллюстрирует проявление принципа суперпозиции для двух одинаковых волн, распространяющихся навстречу друг другу.
На рис.7-4 (b) волны тоже одинаковы по амплитуде, но их смещения противоположны друг другу. Этот случай наиболее поучителен — в течение очень короткого момента времени при встрече двух волн струна оказывается абсолютно плоской. Но как только элемент струны, лежащий чуть левее точки встречи волн начнет двигаться вниз, а симметричный ему (и лежащий чуть правее точки встречи волн) сегмент, начнет двигаться вверх, то первоначальный образ двух волн, движущихся навстречу друг другу, будет очень быстро восстановлен! Небольшое мыслительное усилие покажет, что на струне существует точка, лежащая ровно посередине двух полностью наложившихся друг на друга в момент встречи импульсов, которая не смещается вообще. (см.рис.7-4).

Одновременное присутствие двух1 волн в одном месте называют интерференцией2. Если обе волны стремятся сместить точки среды в одном направлении (как на рис.7-4 a), то интерференцию называют конструктивной. Процессы, показанные на рис. 7-4b) соответствуют случаю деструктивной (разрушительной) интерференции.

Единственная связь между механическим и волновым принципамисуперпозициизаключается в том, что для механических волн (таких, как волны в струне, волны на поверхности воды и т.п.) волновой принцип суперпозиции может быть получен, как следствие механического. Но многие волны являются сугубо немеханическими, так что лучше рассматривать принцип суперпозиции как особый волновой закон.

Наиболее интересные результаты дает "обратное" применение принципа суперпозиции. Это те ситуации, в которых мы анализируем волну и пытаемся предсказать её будущее развитие, представив ее в виде суммы нескольких других волн. Такой подход напоминает действия Галилея в ситуации, где он, анализируя движение снаряда, разложил сложное движение на два более простых (см. Гл. 3).

Вернемся к примеру, где волна создается резким ударом по середине натянутой струны. Сформированный ударом волновой импульс одинаково свободно перемещается в обоих направлениях. Создать на струне волну, движущуюся только вправо или только влево невозможно! Как это объяснить?

Нетрудно ответить на этот вопрос, если принять во внимание, что в момент резкого удара на струне реализуется точно такая же ситуация, как и в момент полного наложения двух одинаковых импульсов, бегущих навстречу друг другу (см рис. 7-4 (a) ). В этих двух ситуациях нет никаких отличий ни в форме струны, ни в характере движения отдельных её элементов. Да, в одном случае “всплеск“ формируется в результате наложения двух бегущих волн, а в другом создается внешним воздействием, но не может быть никаких различий в последующем поведении волны. На основании этого мы можем предсказать, что “всплеск“ на струне, вызванный ударом по ней, неизбежно “расколется” на две волны, распространяющиеся по струне в противоположных направлениях. Очередное мыслительное усилие покажет, что амплитуда (“высота”) каждой из этих волн должна быть равна половине высоты начального “всплеска“. Наблюдения подтверждают, что дело обстоит именно так.

Периодические (повторяющиеся) волны

Самые важные волновые явления связаны не с одиночными волновыми импульсами а с регулярно повторяющимися последовательностямиодиночных волн. Эти повторяющиеся,или периодическиеволны подчиняются тем же законам, что и одиночные волновые импульсы, так что единственное, что нам нужно добавить, — это терминологию их описания. Рис. 7-5 иллюстрирует эту терминологию.

Длина волны, для обозначения которой обычно используют строчную греческую букву (“лямбда”), — это кратчайшее расстояние в среде, на котором полностью воспроизводится картина волны, то есть повторяется её pattern1.

Амплитуда выражает величину максимального смещения, произведенного волной.

Еще одна величина необходима для описания периодических волн: ведь так как волна перемещается, то каждая точка на её пути участвует в движении, которое полностью повторяет себя при прохождении каждой длины волны через эту точку. Количество повторений этого движения, которое происходит за одну секунду, называют частотой, которую обычно обозначают греческой буквой (“ню”). Частоту измеряют в “циклах в секунду”2. Единицу измерения частоты (1/c) также называют герц (Гц), в честь исследователя радиоволн Г. Р. Герца 3. Величина, обратная частоте: , называется периодомволны и измеряется в секундах.)

Иногда вместо длины волны удобно использовать волновое число, , — число волн, укладывающихся на одном метре длины. Эта величина обратна длине волны: .

Конечно, длина волны и её частота (период) тесно связаны между собой, так как волна распространяется с постоянной скоростью. Например, если частота волны равна 5 Гц, то есть каждую секунду происходит 5 полных колебательных циклов, а длина волны равна 4 м, то за секунду волна должна переместиться на 20 м (20 м/с). Эта зависимость может быть выражена итоговой формулой:

или (7.1),

где – условное обозначение для скорости волны. Это не физическийзакон в обычном смысле, а скорее соотношение, которое прямо следует из определений длины волны и частоты.

Гладкая волна, показанная на рис. 7-5, известна как синусоидальная волна, поскольку в её математическом описании используется тригонометрическая функция синус. Звуковая волна такой формы, слышна как чистый музыкальный тон, высота которого определяется частотой волны. Синусоидальная световая волна дает чистый спектральный цвет. Волны могут иметь практически любую вообразимую форму. Когда эта форма достоверно повторяется на протяжении многих длин волн (периодов), то можно использовать принцип суперпозиции для того, чтобы представить сложную по форме волну как комбинацию синусоидальных волн различной длины волны и амплитуды.

Когда волна ограничена неподвижными границами, такими, например, как концы струны, мы получаем великолепную модель стоячей волны, пример которой показан на рисунке 7-6. Все струнные музыкальные инструменты производят свои звуки подобным образом. Волновое движение в стоячейволне происходит перпендикулярно оси волны. В бегущей же волне волновое движение происходитвдоль оси волны.)1

Стоячая волна может существовать на струне, только если закрепленные концы струны будут оставаться неподвижными. А так как профиль волны должен пересекать ось волны через каждую половину длины волны, то единственными волнами, способными “выжить” на струне, будут те, у которых эта половина составляет ровночасть от длины струны. Случай для трёх половин длин волны и показан на рис. 7-6. Точки, которые вообще не движутся, называют узлами стоячей волны.

Так как более коротким длинам волн соответствуют более высокие частоты, то волну с профилем, соответствующим одной половине длины волны, называют основным тоном, более короткие волны называют гармониками или обертонами. Принцип суперпозиции позволяет многим гармоникам сосуществовать на струне в одно и то же время. Это именно то, что придает музыкальным инструментам их характерный звук, так как чисто синусоидальная волна создает, довольно скучный, механический звук2.

Радиопередатчик создает стоячую электрическую волну в своей антенне. Лазер генерирует стоячую световую волну, ограниченную с обоих концов зеркалами, и содержит внутри себя устройства для “накачки” волны энергией. Когда мы доберемся до квантовой теории, мы встретимся с ещё более интересным типом стоячих волн.

Волны на поверхности воды и им подобные

Пока мы рассмотрели только одномерные(1-d) волны, то есть волны, распространяющиесяв струне, в линейной среде. Не менее знакомы нам двумерные волны в форме длинных горных хребтов и впадин на двумерной поверхности воды. Следующий шаг при обсуждении волн нам предстоит сделать в пространство двух (2-d) и трех (3-d) измерений. Опять-таки никакие новые физические принципы не будут использоваться; задача состоит просто в описании волновых процессов.

Мы начнем обсуждение, вернувшись к той простой ситуации, с которой начиналась эта глава — одиночный волновой импульс. Однако теперь это будет не возмущение на струне, а всплеск на поверхности водоема. Всплеск оседает под своим собственным весом, а смежные с ним области, испытывая повышенное давление, подымаются, начиная распространение волны. Этот процесс “в разрезе” изображен на рис. 7-7(a). Дальнейшая логика рассмотрения ситуации точно такая же, что уже была использована при изучении эффектов, возникающих после резкого удара по центральной части струны. Но на сей раз волна может перемещаться во всех направлениях. Не имея причин предпочесть одно какое-то направление другому, волна распространяется во всехнаправлениях. Результат — знакомый всем расширяющийся круг ряби на поверхности тихого водоема, см. рис. 7-7 (b).

Хорошо знакомы нам и плоские волны на поверхности воды — те волны, гребни которых образуют длинные, иногда практически параллельные, линии на поверхности воды. Это те самые волны, которые периодически накатывают на берег. Интересной особенностью волн такого типа является тот способ, которым они преодолевают препятст-вия — например, дыры в непрерывной стене волнолома. Рисунок 7-8 иллюстрирует этот процесс. Если размер отверстия сравним с длиной волны, то каждая последовательная волна создает в пределах отверстия всплеск, который, как и на рис. 7-7, служит источником круглой ряби в акватории порта. В результате между волнорезом и берегом возникают концентрические, “кольцевые” волны.

Это явление известно как дифракция волн. Если же ширина дыры в волноломе будет намного больше, чем длина волны, то этого не случится — прошедшие через препятствие волны сохранят свою плоскую форму, разве что на краях волны возникнут слабые искажения

Подобно волнам на поверхности воды, существуют и трехмерные волны (3-d –волны). Здесь самый знакомый пример — это звуковыеволны. Гребень звуковой волны — это область сгущения1молекул воздуха. Рисунок, аналогичный рис. 7-7 для трехмерного случая представлял бы расширяющуюся волну в форме сферы.

Все волны обладают свойством преломления. Это эффект, который возникает когда волна проходит через границу двух сред, и попадает в среду, в которой она движется более медленно2. Особенно наглядно выглядит этот эффект в случае плоских волн (см. рис. 7-9). Та часть плоской волны, которая оказалась в новой, “медленной”, среде движется в ней с меньшей скоростью. Но поскольку эта часть волны неизбежно остается связанной с волной в “быстрой” среде, её фронт (пунктирная линия в нижней части рис.7-9) должен изломиться, то есть приблизиться к границе раздела двух сред, как это и показано на рис. 7-9.

Если же изменение скорости распространения волны происходит не скачком, а постепенно, то и поворот фронта волны будет происходить тоже плавно. Это, кстати, объясняет причину того, почему волны прибоя, независимо от того, как они двигались в открытой воде, почти всегда параллельны береговой линии. Дело в том, что с уменьшением толщины водного слоя скорость волн на его поверхности уменьшается, поэтому у берега, где волны попадают в область мелководья, они замедляются. Постепенный поворот их фронта и делает волны практически параллельными береговой линии.

Как Томас Юнг доказал, что свет является волной

Теперь у нас есть все необходимые знания, чтобы изучить очень важное явление интерференции световых волн, то явление, которое успешно исследовал Томас Юнг на рубеже XVIII и XIX веков с целью устранить давнее противоречие в объяснении природы света. Это противоречие тесно связано с именем Ньютона, который проводил обширные исследования оптических эффектов. Большая часть оптических исследований Ньютона начиналась в годы1, проведенные им вдали от Кембриджа, отрезанного от него чумой. Именно эти годы привели Ньютона к созданию знаменитых “Принципов…”2. Ньютон своим авторитетом почти на 100 лет утвердил теорию, которая рассматривала свет как поток крошечных частиц. Гюйгенс же придерживался волновойтеории света. Хотя достоверных результатов, доступных во времена Ньютона и Гюйгенса явно не хватало, чтобы предпочесть одну теорию другой, нужно признать, что точка зрения Гюйгенса даже тогда казалась более убедительной. Однако престиж имени Ньютона был таков, что очень немногие физики XVIII века решались отказаться от ньютоновской корпускулярной3 теории света, несмотря на растущую очевидность того, что такие явления как дифракция и постоянство скорости света легко объясняются волновой теорией, но выглядят неестественно для потока частиц.

Томас Юнг, чьи работы стали окончательным “ударом милосердия1по точке зрения Ньютона, был человеком разносторонних талантов. В зените своей научной карьеры он оставил должность профессора натурфилософии Лондонского Королевского института, чтобы продолжить медицинскую практику2. В поздний период своей жизни Юнг увлеченно занимался расшифровкой древнеегипетских иероглифов в текстах на Розеттском камне3.

Эксперимент, который выбрал Юнг, был связан с интерференцией света на двух щелях. Проще всего объяснить суть опыта Юнга на рисунке, который напомнит нам рассмотренный выше пример "отверстие в волнорезе" (см. рис. 7-8). Только на сей раз вообразим волнорез с двумямаленькими зазорами, расположенными неподалеку друг от друга. Плоские волны, ударяющиеся об волнорез, создадут в этом случае два синхронизированных (когерентных) источника круглой ряби. Волны от этих источников наложатся4 друг на друга, как и показано на рис. 7-10.

В точке берега, которая лежит строго напротив центра перемычки, разделяющей зазоры, гребень одной волны всегда встречается с гребнем другой, потому что эта точка равноудалена от обоих зазоров волнореза. Волны от каждого зазора прибывают в эту точку одновременно, и интерференция здесь носит конструктивный характер — образуется волна удвоенной амплитуды (высоты), то есть наблюдается интерференционный максимум. Если мы сдвинемся вдоль берега от этой точки, то синхронизация волн будет нарушена, поскольку мы будем находиться ближе к одному зазору, чем к другому. Двигаясь вдоль берега, мы неизбежно попадем в точку, где гребни волн от одного зазора встречаются со впадинами в волнах от другого. Здесь интерференция носит деконструктивный (разрушительный) характер — результирующие волны получаются небольшими или отсутствуют вообще, то есть наблюдается интерференционный минимум. Двигаясь в том же направлении, мы достигнем точки, где волна от более близкого промежутка встречает предыдущуюволну от более далекого. Здесь снова интерференцияконструктивна, и волны снова высоки. Если мы продолжим движение по берегу, то снова достигнем точки деконструктивной интерференции, и так далее. Правило очень простое: если разница расстояний от источников волн до точки наблюдения составляет целое число длин волн, то интерференцияконструктивна. Если же эта разница равна полуцелому(т.е. 1/2 ,3/2, 5/2, 7/2 и т. д. ) числу длин волн, то интерференция деконструктивна.

Вернемся теперь к опыту Юнга: заменим волнорез непрозрачным экраном, а зазоры в нем — узкими разрезами (щелями) в нем. На листе бумаги1, расположенном достаточно далеко от щелей, можно будет увидеть картину чередующихся ярких и темных полос, параллельных щелям 2 (см. рис. 7-11). Самая яркая полоса находится в центре картины и с каждой стороны её ограничивают темные полосы. Если измерить расстояние между полосами, то несложные геометрии-ческие расчеты позволят вычислить длину световой волны. Величина оказывается фантастически малой!: длины световых волн лежат в диапазоне от 0.00007 см (красный свет) до 0.00004 см (синий свет)3. Чтобы наблюдать интерференционную картину щели в непрозрачном экране должны быть очень узкими и очень близкими друг к другу, а экран для наблюдения должен быть расположен далеко от разрезов4.

  1. Техническое задание предмет контракта: Поставка книжной продукции для библиотек Управления культуры свао г. Москвы; Место поставки: 127254 г. Москва ул. Руставели, д. 13/12, кор. 2

    Техническое задание
    Поставка товара производится для осуществления комплектования фонда государственных публичных библиотек Управления культуры СВАО г.Москвы за счёт субсидий из федерального бюджета.
  2. Арнольд И. В. Стилистика. Современный английский язык: Учебник для вузов. 4-е изд., испр и доп

    Список учебников
    Основная задача книги — научить сознательно подходить к художественному тексту как целому, рассматривая его в единстве формы и идейного содержания. Все аспекты стилистики, изучаемые современными учеными, нашли свое отражение в данной книге.
  3. Джеймс Фенимор Купер Зверобой, или Первая тропа войны

    Документ
    Фенимор Купер - один из первых американских писателей, завоевавших славу и признание читателей в нашей стране. Наследие Купера велико и многообразно: более тридцати романов, исторические сочинения, публицистические памфлеты.
  4. Удобное справочное пособие для студентов гуманитарных вузов и всех любителей кино, быстрый поиск любой информации (режиссёр, актёры, второе или третье название фильма, награды различных фестивалей и жюри), неожиданные открытия

    Документ
    Удобное справочное пособие для студентов гуманитарных ВУЗов и всех любителей кино, быстрый поиск любой информации (режиссёр, актёры, второе или третье название фильма, награды различных фестивалей и жюри), неожиданные открытия.
  5. Учебное пособие (издание второе, исправленное и дополненное) Для студентов очного и заочного отделений (специальность 021400 «Тележурналистика»)

    Учебное пособие
    КИНОИСКУССТВО, это вид художественного творчества, которое является синтезом литературы, изобразительного искусства, театра и музыки. Технологические истоки указывают на две принципиальные составляющие кинематографа: фотография (фиксация
  6. Представлены программа дисциплины, краткий конспект лекций, задания для семинарских занятий, список рекомендуемых источников для изучения дисциплины, тематика контрольных и контролируемых самостоятельных работ, вопросы и тесты для самоконтроля. Удк

    Программа дисциплины
    Медведев В.Ф., член-корр. НАНБ, доктор экономических наук, профессор, директор Центра мировой экономики и международных экономических отношений Института экономики НАН Беларуси
  7. Пол Фейерабенд

    Документ
    "Против методологического принуждения"В кн.: Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки. М., 1986. с.125-467 Feyerabend P.K. Against Method.
  8. Удобное справочное пособие для студентов гуманитарных вузов и всех любителей кино, быстрый поиск любой информации (режиссёр, актёры, второе или третье название фильма, награды различных фестивалей и жюри), неожиданные

    Документ
    Абонент временно недоступен. Росс., 2009. Мелодр. Реж. Марк Горобец. В р: Дина Корзун, Эвклид Кюрдзидис, Павел Новиков, Альберт Филозов, Римма Зюбина, Ирина Новак.
  9. Российский комитет программы юнеско «Информация для всех», Бюро юнеско в Москве (1)

    Документ
    Анонсы содержания номеров журнала «Медиаобразование» публикуются на российском образовательном портале «Учеба» www.ucheba.com и рассылаются администрацией данного портала всем желающим по электронной почте.

Другие похожие документы..