Задачи оптимального приема

5.10. Фильтрация сигналов

Как уже отмечалось в 5.8, некогерентная обработка сигналов производится по огибающей несущих колебаний с учетом предварительной фильтрации смеси сигнала с шумом. Рассмотрим основные задачи и методы оценки систем фильтрации.

5.10.1. Задачи фильтрации и методы ее реализации

Сигнал, несущий полезное сообщение, принимаемый в аддитивной смеси со случайной помехой, сам является случайным сигналом. Отсюда возникает проблема оптимального выделения случайного сигнала на фоне случайной помехи. Эта проблема распадается на ряд частных задач в зависимости от требований приложений результатов обработки. Можно определить наиболее характерные задачи фильтрации.

1. В силу ограниченности времени наблюдения в процессе обработки принимаемого колебания (смеси) находится не сам полезный сигнал, а его оценка, при этом ставится задача нахождения формы полезного сигнала с минимальными искажениями полезного случайного сигнала s(t).

Мерой качества фильтрации при этом может служить средний по множеству реализаций квадрат отклонения оценки сигнала , полученный на выходе системы обработки (фильтра), от истинной формы полезного сигнала, т.е. дисперсия оценки:

. (5.24)

Критерием оптимальности отвечает минимизация оценки .

Относительно располагаемых реализаций случайного полезного сигнала можно различить два случая: а) наблюдения фиксированной длительности Т, когда обрабатываемое колебание задано (записано) на фиксированном отрезке [0,T], при этом возможно его многократное воспроизведение для обработки (встречается в условиях научного эксперимента, в разведке и т.д., б) текущее наблюдение, когда оценка полезного сигнала осуществляется в реальном текущем времени [0,t].

Кроме того, возможна в некоторых приложениях ситуация, когда отыскивается оценка на интервале времени, не совпадающем с интервалом наблюдения, т.е. при наблюдении процесса y(t) = s + n находится оценка , когда τ = 0, то решается задача текущей фильтрации, при τ > 0 – задача фильтрации с упреждением (предсказанием) или задача экстраполяции, при τ < 0 – задача фильтрации с запаздыванием или задача интерполяции (сглаживания).

2. При необходимости определения только наличия или отсутствия сигнала наилучшим критерием оптимальности фильтрации, а значит и постановки задачи фильтрации, является отыскание максимального отношения сигнал/помеха. Эта задача имеет самое широкое применение в системах связи, передачи информации.

При обсуждении вопросов фильтрации различают два ее вида: линейную и нелинейную фильтрацию.

При линейной фильтрации сигналы претерпевают только линейные преобразования: усиление, суммирование, дифференцирование, интегрирование. Процессы в линейной фильтрации описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеется линейная связь между изменениями входного и выходного сигналов и справедливость принципа суперпозиции. Эти свойства присущие только линейным цепям, упрощают как реализацию, так и математическое описание линейных фильтров, что привело к выделению их в самостоятельный класс фильтров, получивших широкое применение.

Понятно, что, ограничиваясь применением только линейных фильтров, мы существенно снижаем свои возможности, т.к. в иных случаях нелинейная фильтрация может быть более оптимальной и дать лучший результат.

При нелинейной фильтрации осуществляются нелинейные преобразования сигналов (перемножение, возведение в степень и др.). Выходной сигнал нелинейного фильтра, в общем случае, определяется нелинейным дифференциальным уравнением.

Нелинейная обработка сигналов в ряде случаев позволяет получить более высокие показатели качества обработки, чем линейная, а иногда является единственно возможной формой обработки сигналов. Например, в случае, когда информационными параметрами являются фаза или частота сигнала, в силу нелинейной зависимости реализации сигнала от фильтруемого параметра может использоваться только нелинейная фильтрация. При этом оптимальными оказываются следящие фильтры (устройства фазовой или частотной автоподстройки частоты).

Литература:

[1] стр. 208-209. [2] стр. 180. [3] стр. 174.

Контрольные вопросы:

  1. В чем заключается задача фильтрации сигнала?

  2. Какие задачи решают оптимальные фильтры?

  3. Как определяется оптимальность фильтра?

  4. В чем разница между линейной и нелинейной фильтрацией?

5.10.2. Оптимальная линейная фильтрация по критерию
максимума отношения сигнал/шум (согласованные фильтры)

Комплексный спектр полезного сигнала

. (5.25)

Обозначим передаточную функцию оптимального фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в некоторый момент времени t0

. (5.26)

Значения отдельных спектральных составляющих полезного сигнала s(t) в момент t0:

.

Из физических соображений очевидно, что оптимальная фазочастотная характеристика фильтра φф(t) соответствует сведению к нулю в момент t0 фаз всех спектральных составляющих полезного сигнала на выходе фильтра. В этом случае обеспечивается максимальное значение выходного сигнала, поскольку все спектральные составляющие суммируются с одинаковой фазой, т.е. их амплитуды просто складываются.

,

для этого , т.е.

. (5.27)

Дисперсия шума не зависит от фазочастотной характеристики фильтра, т.к. определяется энергетическим спектром на выходе фильтра, который не зависит от фазы спектральных составляющих.

Для определения амплитудно-частотной характеристики фильтра , максимизирующей отношение мощностей сигнала и шума на его выходе в момент t0, оценим вклад в каждую из этих мощностей элементарных участков спектра df.

Вклад участка спектра сигнала df в величину Uвыхmax(t0) равен:

и соответствующий вклад в выходную мощность полезного сигнала:

dPsвых.

Выходная мощность шума, приходящаяся на участок спектра df:

dPnвых.

Отношение по всей полосе частот и тогда

отсюда

.

Опуская несущественный масштабный коэффициент k, получаем выражение для комплексной характеристики оптимального фильтра:

,

где S*(f) – комплексный сопряженный спектр сигнала.

В случае, когда на выходе белый шум и

. (5.28)

Таким образом, фильтр должен быть согласован (комплексно сопряжен) со спектром полезного сигнала (сомножитель не влияет на форму выходного сигнала, а только определяет задержку t0 момента достижения максимума). Такие фильтры получили название согласованных или оптимальных линейных фильтров.

Определим максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра при действии белого шума.

Es – энергия полезного сигнала.

или для прямоугольного импульса Es = A2  τu.

Средняя мощность шума на выходе фильтра:

.

При оценке энергии шума в полосе от -∞ до +∞ спектральная плотность выражается .

Тогда отношение по мощности:

. (5.29)

По напряжению отношения сигнал/шум будет:

. (5.30)

Это результат для белого шума (5.28), если шум не белый, то:

. (5.31)

Отсюда видно, что для обработки смеси необходимо небелый шум привести к белому, произвести "отбеливание" шума.


Рис. 5.8

Рассмотрим для примера согласованный фильтр для сигнала вида прямоугольного видеоимпульса.

.

Спектральный состав видеоимпульса:

. (5.32)

Комплексно-сопряженный спектр S*(jω) получаем при замене знака перед j:

.

Определим частотную характеристику согласованного фильтра в соответствии с выражением (5.28):

.

Последний сомножитель определяет задержку t0, которая означает, что искомое максимальное отношение сигнал/шум наступает только в момент t0. Считая, что энергия сигнала существует во время от 0 до τu (далее она равна нулю), принимаем величину задержки отсчета на выходе фильтра равной длительности импульса, т.е. t0 = τu, тогда

. (5.33)

Получена комплексная частотная характеристика, в которой

А – амплитудное значение импульса;

1/jω – отражает частотную характеристику интеграла;

- представляет задержку на τu.

Структурная схема согласованного с видеоимпульсом фильтра будет:


Рис. 5.9

Действующее напряжение в схеме:

Рис. 5.10

При этом оказывается, что искаженная форма выходного сигнала имеет общую длительность в 2τu, максимальное значение выходного сигнала достигается в точке t0 = τu. В этот момент на выходе фильтра отношение сигнал/шум будет максимальным именно в этот момент времени следует произвести отсчет сигнала на выходе фильтра.

Вместе с тем, спектральный состав видеоимпульса можно получить и в иной форме (см. лекцию 1):

S(jω) = A sin(ωτu/2). (5.34)

Разделив комплексный спектр на амплитудно-частотный и фазово-частотный получим графики (рис. 5.11)


Рис. 5.11

Литература:

[1] стр. 208-214. [2] стр. 180-186. [3] стр. 174-181.

Контрольные вопросы:

  1. Почему согласованный фильтр называют оптимальным?

  2. Почему оптимальный фильтр называют согласованным?

  3. Какая форма сигнала на выходе согласованного фильтра?

  4. Чему равно отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?

5.10.3. Квазиоптимальная фильтрация

Реализовать оптимальный согласованный фильтр вида (5.31) или для спектра (5.32) практически сложно, поэтому применяют метод квазиоптимальной фильтрации.

Впервые этот метод предложил Сифоров В.И. Метод квазиоптимальной фильтрации основан на введении понятия эффективной полосы сигнала.

. (5.33)


Рис. 5.12


Рис. 5.13

В.И.Сифоров рассмотрел квазиоптимальное согласование прямоугольного видеоимпульса с идеализированным фильтром с прямой частотной характеристикой и определил эффективную полосу:

. (5.36)

При этом отношение сигнал/шум мощности:

, (5.36)

т.е. снижение отношения сигнал/шум на 0,18 по сравнению с (5.29). Для выравнивания отношения необходимо увеличить энергию сигнала в 1,22 раза (меньше 1 дБ). При этом полоса прямоугольного фильтра некритична – при изменении ее в 1,5 раза проигрыш увеличивается до 1,25 раза (т.е. в пределах 1 дБ). Применение квазиоптимальной фильтрации при незначительном проигрыше дало возможность достаточно просто реализовать согласованную фильтрацию.

Еще проще оказать реализовать квазиоптимальную фильтрацию для прямоугольного импульса другим фильтром – фильтром низких частот.

Частотную характеристику фильтра низких частот, показанного на рис. 5.14, имеет простейшая RC-цепь.


Рис. 5.14


Рис. 5.15

.

Т = RC – постоянная времени фильтра, от ее величины зависит скорость убывания частотной характеристики (1, 2, 3). Понятно, что частные характеристики 1 и 3 не оптимальны, в первом случае через фильтр проходит много шума, во втором – на выход фильтра поступает мало энергии сигнала.

Максимальным значение сигнала на выходе цепи RC для прямоугольного импульса Uвых(t) будет в момент времени t = τu, т.е.

,

где As – амплитуда.

Средняя плотность мощности белого шума на выходе RC цепи равна:

,

где - квадрат модуля коэффициента передачи интегрирующей RC цепи по напряжению.

Спектральная плотность "белого" шума обозначается как N0 при оценке шума в полосе частот от 0 до ∞ и равна N0/2 при оценке шума в полосе от -∞ до +∞. Сейчас шум будем рассматривать в полосе от -∞
до +∞, т.е. через выражение N0/2.

На выходе цепи дисперсия шума будет:

.

Решение интеграла находится из известной формулы:

.

Применительно к нашему случаю будет:

.

и окончательно:

,

отсюда

.

Отношение сигнал/шум на выходе цепи по мощности:

домножим на

- представляет энергию сигнала Es.

.

Выражение (5.28) соответствует максимальному отношению сигнал/шум оптимального фильтра. Оценим изменение этого отношения для анализируемого квазиоптимального фильтра пронормировав его по (разделив q2 на ):

. (5.38)

Исследуя на экстремум (максимум) выражение (5.38) в зависимости от отношения Т/τu, можно легко установить, что максимальное значение η будет при Т/τu = 1, т.е. при Т = τu и оно будет равно:

η = 2(1-е-1) = 0,798 ≈ 0,8.

Это говорит о том, что отношение сигнал/шум квазиоптимального RC фильтра немного хуже, чем оптимального (~0,8), однако его реализация крайне проста.

Исследуя влияние отношения T/τu на отношение сигнал/шум, нетрудно вычислить график этой зависимости (изменение постоянной времени T = RC отражены на рис. 5.14, кривые 1 и 2).

Рассчитанный по формуле (5.38) график зависимости отношения сигнал/шум от отношения T/τu приведен на рис. 5.15.


Рис. 5.15

Литература:

[1] стр. 214-221. [2] стр. 185. [3] стр. 180.

Контрольные вопросы:

  1. Что такое "эффективная полоса сигнала"?

  2. Какие условия по В.И.Сифорову квазиоптимальной фильтрации прямоугольного видеосигнала?

  3. Какое максимальное отношение сигнал/шум у квазиоптимальных фильтров?

  4. Почему у квазиоптимального RC фильтра существует максимальное значение при изменении T = RC?

* Интеграл Гаусса

  1. Методы и устройства приема и обработки сигналов

    Документ
    А.Е. Курочкин, доцент кафедры радиотехнических устройств Учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»,
  2. Задачи возникают при взаимодействии объекта с субъектом. Объект (в нашем случае) это нечто, обладающее определенными свойствами и характеристиками. Субъект (1)

    Документ
    Целью данного курса является рассмотрение такого понятия как «Искусственный интеллект» (ИИ), а если быть конкретней - основных направлений развития систем искусственного интеллекта (СИИ) и задач, которые данные системы способны решать.
  3. Задачи возникают при взаимодействии объекта с субъектом. Объект (в нашем случае) это нечто, обладающее определенными свойствами и характеристиками. Субъект (2)

    Документ
    ИНТЕЛЛЕКТ (от лат. intellectus познание, понимание, рассудок) – это способность мышления, рационального познания. Но данное определение слишком расплывчатое, не дающее конкретного понимания этого слова.
  4. Задачи анализа, синтеза и оптимизации хтс 45

    Документ
    Химико-технологический процесс представляет собой совокупность операций, позволяющих получить целевой продукт из исходного сырья. Некоторые из этих операций необходимы для подготовки исходных реагентов к проведению химической реакции,
  5. Задачи курса формирование представлений о специфике философского мировоззрения, основных этапах историко-философского процесса; усвоение основных философских категорий, методов анализа философских текстов. Основные дидактические единицы (2)

    Документ
    Понятие и типы мировоззрения. Специфика философского мировоззрения. Функции философии. Основные этапы развития философии. Античная философия. Философия досократиков.
  6. Задачами изучения дисциплины являются (3)

    Задача
    Целью изучения дисциплины является приобретение студентом знаний и умений в сфере философии и развитие навыков, необходимых для формирования общекультурных и профессиональных компетенций, а также применения философских и общенаучных
  7. Задачи: Изучить предмет метод и структуру изучения курса Ознакомиться с состояние агропромышленного комплекса в настоящее время Изучить основные экономические законы

    Закон
    Ознакомить студентов с основными понятиями, используемыми в куре экономики отраслей АПК, методами изучения курса, основными задачами изучения экономики
  8. Задачи криминалистики 6 Преступная деятельность как объект криминалистики 22 Принципы преступной деятельности 37

    Документ
    В монографии представлены основные публикации автора по проблемам изучения и совершенствования практики борьбы с прес­тупностью. Рассчитана на всех интересующихся развитием и фун­кциональной ролью криминалистики.
  9. Задачи профессиональной деятельности выпускника Бакалавр по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование

    Документ
    - Основным видом профессиональной деятельности, к которой готовится бакалавр по направлению Педагогическое образование Профиль Дошкольное образование, является педагогическая и методическая работа в дошкольных образовательных учреждениях.

Другие похожие документы..