Задачи оптимального приема

5.3. Оптимальная обработка сигналов в бинарных каналах

При принятии решения о наличии того или иного сигнала в смеси могут иметь место как правильные решения, так и ошибки. Как правильные, так и ошибочные решения являются событиями случайными и характеризуются их вероятностями:


Рис. 5.1

P(S1/S1) - условная вероятность правильного опознания сигнала S1

P(S2/S2) - условная вероятность правильного опознания сигнала S2

P(S1/S2) - условная вероятность ошибочного решения о приеме S1, при условии, что был передан сигнал S2.

P(S2/S1) - условная вероятность ошибочного решения о приеме сигнала S2 при условии, что был передан сигнал S1.

Безусловные вероятности правильного опознавания сигналов соответственно равны:

P(S1) = Pa(S1) P(S1/S1),

P(S2) = Pa(S2) P(S2/S2).

Безусловные вероятности ошибок:

Pош(S1) = Pa(S2) P(S1/S2),

Pош(S2) = Pa(S1) P(S2/S1).

Здесь Pa(S1) - априорная вероятность передачи сигнала S1,

Pa(S2) - априорная вероятность передачи сигнала S2.

Выбор критерия оптимальности обработка принятой смеси зависит от степени вредности ошибок в том или ином канале передачи информации.

5.4. Критерий оптимальности Байеса

Введем в рассмотрение следующую функцию вероятностей ошибок, называемую функцией потерь или функцией риска:

z = aPош(S1) + bPош(S2) = a Pa(S2) P(S1/S2) + b Pa(S1) P(S2/S1). (5.11)

Здесь a и b - коэффициенты, характеризующие цену потерь при ошибках соответствующих родов.

Оптимальной по критерию Байеса является такая обработка, которая минимизирует функцию риска. Определим правило решения, соответствующее критерию Байеса. Выразим функцию риска через функции правдоподобия. Выбор правила решения сводится к такому разбиению пространства решений на две непересекающиеся области, при котором функция риска является минимальной. Обозначим буквой А область, при попадании в которую принятой смеси y(t), принимается решение о приеме сигнала S1(t), а буквой В - область, при попадании в которую принимается решение о приеме сигнала S2(t). Тогда функцию риска можно выразить следующим образом:

, (5.12)

но , откуда

.

Очевидно, что функция z достигает минимума при таком определении области А, при котором значение интеграла достигает максимума, максимум интеграла, в свою очередь, имеет место при условии, что в область А будут включены все положительные значения подынтегральной функции. Итак, область А определяется следующим условием:

,

откуда

l(S1) / l(S2) = W(y/S1) / W(y/S2) > aPa(S2) / bPa(S1).

Аналогично область В описывается так:

l(S1) / l(S2) < aPa(S2) / bPa(S1).

Если принятая смесь y(t) принадлежит области А, по принятому условию, должно приниматься решение о приеме сигнала S1, при принадлежности к области В - о приеме сигнала S2. В итоге правило решения, соответствующее критерию Байеса, может быть записано следующим образом:

l(S1) / l(S2) aPa(S2) / bPa(S1). (5.13)

При помехе в виде аддитивного белого шума можно воспользоваться выражением (5.9) для отношения правдоподобия и записать правило решения следующим образом:

aPa(S2) / bPa(S1). (5.14)

Т.к. отношение правдоподобия есть экспоненциальная, следовательно, монотонная функция аргументов q1 и q2, неравенства можно упростить, прологарифмировав левую и правую части неравенств (5.14). При этом правило решения преобразуется к следующему виду:

. (5.15)

Выражение (5.15) в литературе часто называет функцией решения. Выражение в правой части неравенства известно и постоянно (все входящие в него элементы определяются), поэтому вычисляют как число и называют порогом сравнения – h.

5.5. Критерий оптимальности Котельникова

Во многих каналах связи ошибки всех родов одинаково вредны. В этом случае в выражении (5.15) цены за ошибки a и b логично принять равными. Тогда правило решения (5.15) может быть упрощено следующим образом:

. (5.16)

Выражение (5.16) и является правилом решения по критерию оптимальности Котельникова. Данный критерий был выдвинут академиком Котельниковым как часть теории систем связи, т.к. в период его разработки радиотехника сводилась, в основном, к системам связи, а такие ее разделы, как радиолокация, телеуправление и другие только зарождались.

Из выражения (5.15) и (5.16) следует, что критерий Котельникова можно считать частным случаем критерия Байеса.

Применительно к критерию Котельникова в выражении (5.11) можно, не снижая общности рассуждений, цены за ошибки a и b принять равными единице (a = b = 1). При этом функция риска примет следующий вид:

z = Pош(S1) + Pош(S2).

Таким образом, в критерии оптимальности Котельникова функция риска имеет следующий смысл: функция риска равна суммарной вероятности всех возможных ошибок. Следовательно, при обработке принятой смеси сигнала и помехи по правилу, соответствующему критерию Котельникова, минимизируется суммарная вероятность ошибок.

Данный критерий иногда называют также критерием максимума апостериорной вероятности. Действительно, в соответствии с выражением (5.3) и с учетом соотношения a = b = 1 правило решения может быть переписано так:

Pa(S1) l(S1) / Pa(S2) l(S2) = Pps(S1) / Pps(S2) 1. (5.17)

Следовательно, в соответствии с критерием Котельникова принимается решение о приеме того сигнала, который в результате обработки принятой смеси оказывается наиболее вероятным, т.е. апостериорная вероятность которого является максимальной.

Литература:

[1] стр. 170-173. [2] стр. 169-173. [3] стр. 163-168.

Контрольные вопросы:

  1. В чем суть критерия оптимальности Байеса?

  2. Чем отличается критерий Котельникова от критерия Байеса?

  3. Что такое оптимальный порог?

5.6. Критерий максимума правдоподобия

Иногда выделение информации из принятого колебания долено производиться таким образом, чтобы была минимальной сумма условных вероятностей всех возможных ошибок. В частности, это может иметь место тогда, когда априорное распределение вероятностей неизвестно и его логично считать равномерным. В качестве упражнения предлагаем читателям доказать, что правило решения для этого критерия записывается так:

l(S1) / l(S2) 1

или, после несложных преобразований, в таком виде:

q1q2.

5.7. Оптимальный прием полностью известных
(детерминированных) сигналов

В некоторых видах каналов связи информативным параметром сигнала является сам факт передачи того или иного сигнала, а остальные параметры сигналов: форма, энергия, время существования заранее известны на приемном конце канала связи. Рассмотрим структуру и характеристики приемников бинарных сигналов при таких условиях.

Приемник, оптимальный по критерию Байеса.

Функция решения, соответствующая критерию Байеса, определяется выражением (5.15):

.

При приеме полностью известных сигналов величины Е1, Е2, Pa(S1), Pa(S2), N0 и форма сигналов S1(t) и S2(t), а также моменты их качала и окончания заранее известны на приемном конце канала связи. Следовательно, вместе приема можно воспроизвести эти сигналы и построить обрабатывающее устройство, работающее по правилу (5.15). Один из возможных вариантов структурной схемы такого приемника представлен на рис. 5.2.


Рис. 5.2

Определим минимальное значение функции потерь, соответствующее оптимальной обработке. До приема колебания ∆ величина ∆q, является случайной, т.к. в подынтегральную функцию (5.10) входит случайная функция n(t). Нами было принято условие, что помеха является стационарной с гауссовым распределением вероятностей, следовательно, и случайная величина ∆q также имеет гауссово распределение вероятностей, причем это распределение зависит от того какой из сигналов: S1 или S2 находится в принимаемой смеси.

Определим числовые характеристики случайной величины ∆q.

В случае, когда y(t) = n(t) + S1(t), передавался сигнал S1.

,

где .

Математическое ожидание

,

дисперсия

.

Т.к. n(t) – белый шум

,

откуда

.

При y(t) = n(t) + S2(t), передавался сигнал S2

,

.

На рис. 5.3 приведены графики плотностей вероятности случайных величин W(∆q1) и W(∆q2), умноженные соответственно на bPa(S1) и aPa(S2).


Рис. 5.3.

В соответствии с правилом решения (5.15) полученное в результате обработки принятой смеси значение ∆q сравнивается с величиной hopt, которую назовем оптимальным пороговым значением. При условии
∆q > hopt принимается решение о наличии в принятой смеси y(t) сигнала S1(t), при ∆q < hopt о наличии сигнала S2(t).

Примем сперва в качестве порогового случайно взятое значение ∆qпор = h. Тогда площадь, ограниченная кривой bPa(S1)W(∆q/S1) и осью абсцисс слева от порогового значения ∆qпор будет равна bPa(S1)Р(S2/S1), а площадь справа от порогового значения, ограниченная левой кривой, будет равна aPa(S2)Р(S1/S2). Сумма этих величин в соответствии с выражением (5.11) равна функции потерь. Меняя значение ∆qпор, можно менять величину z. Нетрудно убедиться, что минимальное значение функции потерь соответствует величине hopt = ∆qп, определяющейся точкой пересечения кривых на рис. 5.3. Это оптимальное значение порога равно:

hopt = ln (bPa(S1) / aPa(S2)) + (E2 – E1)/N0.

Итак, минимальное значение функции потерь в рассматриваемом случае равно

  1. Методы и устройства приема и обработки сигналов

    Документ
    А.Е. Курочкин, доцент кафедры радиотехнических устройств Учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»,
  2. Задачи возникают при взаимодействии объекта с субъектом. Объект (в нашем случае) это нечто, обладающее определенными свойствами и характеристиками. Субъект (1)

    Документ
    Целью данного курса является рассмотрение такого понятия как «Искусственный интеллект» (ИИ), а если быть конкретней - основных направлений развития систем искусственного интеллекта (СИИ) и задач, которые данные системы способны решать.
  3. Задачи возникают при взаимодействии объекта с субъектом. Объект (в нашем случае) это нечто, обладающее определенными свойствами и характеристиками. Субъект (2)

    Документ
    ИНТЕЛЛЕКТ (от лат. intellectus познание, понимание, рассудок) – это способность мышления, рационального познания. Но данное определение слишком расплывчатое, не дающее конкретного понимания этого слова.
  4. Задачи анализа, синтеза и оптимизации хтс 45

    Документ
    Химико-технологический процесс представляет собой совокупность операций, позволяющих получить целевой продукт из исходного сырья. Некоторые из этих операций необходимы для подготовки исходных реагентов к проведению химической реакции,
  5. Задачи курса формирование представлений о специфике философского мировоззрения, основных этапах историко-философского процесса; усвоение основных философских категорий, методов анализа философских текстов. Основные дидактические единицы (2)

    Документ
    Понятие и типы мировоззрения. Специфика философского мировоззрения. Функции философии. Основные этапы развития философии. Античная философия. Философия досократиков.
  6. Задачами изучения дисциплины являются (3)

    Задача
    Целью изучения дисциплины является приобретение студентом знаний и умений в сфере философии и развитие навыков, необходимых для формирования общекультурных и профессиональных компетенций, а также применения философских и общенаучных
  7. Задачи: Изучить предмет метод и структуру изучения курса Ознакомиться с состояние агропромышленного комплекса в настоящее время Изучить основные экономические законы

    Закон
    Ознакомить студентов с основными понятиями, используемыми в куре экономики отраслей АПК, методами изучения курса, основными задачами изучения экономики
  8. Задачи криминалистики 6 Преступная деятельность как объект криминалистики 22 Принципы преступной деятельности 37

    Документ
    В монографии представлены основные публикации автора по проблемам изучения и совершенствования практики борьбы с прес­тупностью. Рассчитана на всех интересующихся развитием и фун­кциональной ролью криминалистики.
  9. Задачи профессиональной деятельности выпускника Бакалавр по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование

    Документ
    - Основным видом профессиональной деятельности, к которой готовится бакалавр по направлению Педагогическое образование Профиль Дошкольное образование, является педагогическая и методическая работа в дошкольных образовательных учреждениях.

Другие похожие документы..