Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза и школьных учителей физики. Елабуга: изд-во Елабужского гос пед ун-та, 2004- 43 с. Елабужский государственный педагогический университет

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

4. Средняя длина свободного пробега.

Явления переноса в газах.

1. Средняя длина свободного пробега молекулы газа

=

где – средняя арифметическая скорость, – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени, d - эффективный диаметр молекулы.

2. Масса газа, перенесенная за время t при диффузии:

где /x - градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке S, D - коэффициент диффузии: ([D]=м2/с)

3. Импульс, перенесенный газом за время t, определяет силу внутреннего трения Fтр в газе:

где – градиент скорости течения газа в направлении, перпендикулярном к площадке S,  - динамическая вязкость, или коэффициент вязкости: , = D; []=Нс/м2=Пас.

4. Количество теплоты, перенесенное за время t вследствие теплопроводности, определяется формулой:

где T/x - градиент температуры в направлении, перпендикулярном к площадке S,  - коэффициент теплопроводности:

; ; ; []=Дж/(мсК)=Вт/(мК).

Здесь сv=iR/(2) - удельная теплоемкость при V=const.

Примеры решения задач.

Задача 1. Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении 105Па и температуре 17оС. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: а) при постоянном давлении: б) при постоянной температуре?

Дано: р=105 Па; Т=290К; =28.10-3кг/моль; d=3,7.10-10 м, V2=2V1; а) р=соnst; б)Т=сonst .

Найти:  - ? D - ?  - ?

Решение. Средняя длина свободного пробега определяется по формуле; а концентрацию молекул по заданным значениям давления и температуры находим из уравнения р=nkT, тогда

 = ;  =9,52.10-8м.

Для расчета коэффициента диффузии по формуле можно воспользоваться полученным результатом, определив предварительно среднюю скорость:  =470 м/c. Тогда D=1.10-5 м2/с.

Для расчета  подставим в формулу выражение для, а  найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:  =р/(RT).

Тогда . =1,710-5 Па.с.

Как видно из выражения для , длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшается вдвое. Следовательно, при любом процессе 2/1 =n1/n2 =V2/V1 =2.

В выражении коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Следовательно,

D2/D1=(2/1)(T2/T1)1/2 .

а) При р=const T2/T1= V2/V1 =2. Таким образом, D2/D1=2 . б)При T=const D2/D1=(2/1) = 2.

Вязкость зависит только от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е. 2/1=(T2/T1)1/2. При р= const 2/1=. При постоянной температуре коэффициент  не изменяется.

Задача 2*. Два коаксиальных цилиндра длиной 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси Х. Радиус большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной частотой 20c-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения 1 с-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пренебречь. Масса внешнего цилиндра равна 100 г.

Дано: l=0.1 м, R=0,05 м, d=2.10-3 мм, р=105Па, Т=273К,

n1=20c-1, n2=1 c-1,m=0,1кг.

Найти: t - ?

Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воздуха увлекается им и начинает участвовать во вращательном движении. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и скорость точек на поверхности цилиндра, т.е. =2n1(R-d). Так как d <<R, то приближенно можно считать:

  2n1R. (1)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени t внешний цилиндр приобретает момент импульса L=РR, где Р - импульс, полученный за t внешним цилиндром. Отсюда:

Р= L/R. (2)

С другой стороны, Р=(/x) S t, (3)

где  - коэффициент вязкости, v/x - градиент скорости, S - площадь поверхности цилиндра (S=2Rl).

Приравняв правые части выражений (2) и (3), найдем t:

t=L/[R(/x) S]. (4)

Найдем L и /x. Момент импульса L=J2, где J- момент инерции цилиндра (J=mR2), m- его масса, 2- угловая скорость внешнего цилиндра (2=2n2). С учетом этого L= mR2.2n2=2 mR2n2. Градиент скорости

/x= /x = /d. Подставив в (4) выражения L, /x и S, получим t=mdn2/(l). Заменив здесь v по (1), найдем t=mdn2/(2Rln1) .

Динамическая вязкость воздуха при н. у. =1,72.10-5 Па.с. t=18,5 с.

Задачи.

Средняя длина свободного пробега.

4.1. Найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 100оС и давлении 13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа 0,32 нм.

4.2. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике, было установлено, что на высоте 300 км от поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере 1015 м-3. Найти среднюю длину свободного пробега частиц газа на этой высоте. Диаметр частиц газа 0,2 нм.

4.3. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул азота при давлении 53,3 кПа и температуре 27оС.

4.4. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100оС, если средняя длина свободного пробега 870 мкм.

4.5. Найти среднюю длину свободного пробега молекул водорода при давлении 0,133 Па и температуре 50оС.

4.6. При некоторых условиях средняя длина свободного пробега молекул 160 нм; средняя арифметическая скорость молекул 1,95 км/с. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул этого газа, если при той же температуре давление газа уменьшится в 1,27 раза.

4.7. В сосуде объемом 100 см3 находится 0,5 г азота. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота.

4.8. Какое давление надо создать внутри сферического сосуда при 0оС, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, если диаметр сосуда: а)1 см, б)10 см, в) 100 см. Диаметр молекул газа 0,3 нм.

4.9. В сферической колбе объемом 1 л находится азот. При какой плотности азота средняя длина свободного пробега молекул азота больше размеров сосуда?

Явления переноса в газах.

4.10. Найти коэффициент диффузии гелия при нормальных условиях.

4.11. Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 0,01 м2 за 10 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площадке, 1,26 кг/м4. Температура азота 27оС, давление 105 Па.

4.12. При каком давлении отношение вязкости некоторого газа к коэффициенту диффузии /D=0,3 кг/м3, а средняя квадратичная скорость его молекул 632 м/с?

4.13. Найти вязкость азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии для него 1,42.10-5 м2/с.

4.14. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при некоторых условиях равны 1,42.10-4 м2/с и 8,5 мкПа.с. Найти число молекул водорода в единице объема.

4.15. Самолет летит со скоростью 360 км/ч. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, 4 см, найти касательную силу Fs, действующую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воздуха 0,3 нм. Температура воздуха 0оС.

4.16. Найти эффективный диаметр молекулы кислорода, если известно, что для кислорода коэффициент внутреннего трения при 0оС равен 18,8 мкПа.с.

4.17. Найти теплопроводность водорода, вязкость которого 8,6 мкПа.с.

4.18. В сосуде объемом 2 л находится 4.1022 молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа 14 мВт/(м.К). Найти коэффициент диффузии газа.

4.19. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношения: а)коэффициентов диффузии; б)вязкостей; в)теплопроводностей. Диаметры молекул считать одинаковыми.

4.20. Какое количество теплоты теряет помещение за время 1 ч через окно за счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы 4 м2, расстояние между ними х=30см. Температура помещения t1=18oC. Температура наружного воздуха t2=-20oC. Диаметр молекул воздуха 0,3 нм. Температуру воздуха между рамами считать равной среднему арифметическому температур помещения и наружного воздуха. Давление воздуха 101,3 кПа.

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

5. Первое начало термодинамики.

1. Первое начало термодинамики может быть записано в виде:

dQ = dU + dА

где dQ - количество теплоты, подводимое к системе, dU - увеличение внутренней энергии системы, dA - работа, совершаемая силами, которые приложены со стороны системы к внешним телам.

Изменение внутренней энергии идеального газа

где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Связь между молярной и удельной теплоемкостями С = с .

2. Теплоемкость газа при постоянном объеме ,

где i - число степеней свободы движения молекулы.

Теплоемкость газа при постоянном давлении (уравнение Майера):

3. Внутренняя энергия газа массой m :

4. Работа, совершаемая газом .

5. Первое начало термодинамики:

а) для V=const:

б) для Т= const :

в) адиабатного процесса: dQ=0 dA = – dU

6. Уравнения Пуассона для адиабатических процессов:

рV=const; ТV-1 =const; , где =ср/сv .

7. Уравнение политропы рVn =const, где n - показатель политропы.

Примеры решения задач.

Задача 1. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянных объеме и давлении, принимая эти газы идеальным газом.

Дано: 1=20.10-3кг/моль, 2=2.10-3кг/моль.

Найти: сv - ? cp - ?

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами сv= (1) и ср= (2).

Для неона (одноатомный газ) i1=3. сv1=624 Дж/(кг.К); ср1=1,04 кДж/(кг.К).

Для водорода (двухатомный газ) i2=5. Вычисления по формулам (1) и (2) дают: сv2=10,4 Дж/(кг.К); ср2=14,6 кДж/(кг.К).

Задача 2. Один моль идеального двухатомного газа расширяется изобарически, изотермически, адиабатически до объема, в 5 раз большего первоначального. При каком из этих процессов работа по расширению будет больше? Определить также изменение внутренней энергии и количество подведенной теплоты. Считать первоначальное состояние нормальным.

Дано:p1=105Па, Т1=273 К, V1=22,4.10-3м3, V2=5V1, m/=1 моль.

Найти: U - ? A - ? Q - ?

Решение. Из графиков указанных процессов (см. рис.) видно, что наибольшая работа при рассматриваемых условиях соответствует изобарическому расширению.

а) Работа при изобарическом процессе (кривая 1):

А11(V2-V1).

Т.к. U=Cv T, то U=Cv T.

Изменение температуры T=Т21находим, используя закон Гей-Люссака: V1/V2=T1/T2; T2= T1V2/V1 ; T= T1(V2/V1 - 1).

Количество подведенной теплоты: Q=Cp T, где для двухатомного газа Cp= R=7R/2.

А1=8,96.103 (Дж); T=1092К, U=23.103 (Дж); Q=32.103(Дж).

б) При изотермическом процессе (кривая 2): T= 0 и U=0. Все подведенное тепло идет на совершение работы по расширению - А2=Q:

  1. Том I культурология. Педагогика алматы  астана  баку  гродно  киев  кишинев  коламбия люденшайд  минск  невинномысск  ташкент  харьков  элиста 2010

    Документ
    В первом томе представлены доклады и сообщения студентов, аспирантов и молодых ученых учебных заведений и организаций Беларуси, Казахстана, Молдавии, Монголии, России,Узбекистана, Украины, посвященных проблемам культурологии и педагогики.
  2. Проблемы современного коммуникативного образования в вузе и школе (2)

    Документ
    Вершинина Г. Б., доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой теории и методики обучения русскому языку ГОУ ВПО «Кузбасская государственная педагогическая академия"

Другие похожие документы..