Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза и школьных учителей физики. Елабуга: изд-во Елабужского гос пед ун-та, 2004- 43 с. Елабужский государственный педагогический университет

2. Молекулярно-кинетическая теория газов.

1. Основное уравнение кинетической теории газов

где n - число молекул в единице объема (концентрация - n=N/V), mo- масса молекулы,  – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, =1,38.10-23 Дж/К – постоянная Больцмана.

2. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы , а приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы) . Число степеней свободы молекулы – это число независимых между собой возможных перемещений молекулы. Для одноатомного газа i = 3 , для двухатомного – i=5 (если связь между атомами жесткая), многоатомного – i=6.

3. Давление газа, выраженное через концентрацию молекул,

4. Средняя квадратичная скорость молекул: .

Примеры решения задач.

Задача 1. В сосуде находится 3,59.1020 молекул азота, которые оказывают на стенки сосуда давление 20 кПа. Каков объем сосуда, если средняя квадратичная скорость молекул 300 м/с?

Дано:N=3,59.1020; р=20 кПа=2.104Па; v=300 м/с; =28.10-3кг/моль

Найти: V - ?

Решение. Объем сосуда можно найти, зная n - число молекул в единице объема: V= N/n.

Для отыскания n воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории: . Откуда n=3p/(mo2).

Масса одной молекулы азота mo=/NA, объем сосуда V=nv2/(3pNA)

V=28.10-3.3,59.1020.9.104/(3.2.104.6.1023) 8.10-6 3).

Задача 2. Определить плотность газа, если средняя квадратичная скорость его молекул 1800 м/с, давление 2.104 Па.

Дано:кв=1800 м/с; р=2.104 Па.

Найти:  - ?

Решение. Плотность газа может быть выражена следующим образом: =nmo. Запишем основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

. Отсюда =3р/кв2. 0,014 (кг/м3).

Задача 3. Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре 27оС. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

Дано:1=4.10-3 кг/моль;2=28.10-3кг/моль; m1=m2=m=100г=0,1 кг.

Найти: vкв - ? n- ? - ? U - ?

Решение. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы любого газа: n=kT.

Средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул (следовательно, и от молярной массы): .

Средняя полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекул - от числа i степеней свободы =kT.

Полная кинетическая энергия всех молекул равна для идеального газа его внутренней энергии: U=N, где N - число всех молекул.

N определим из соотношения: N=NAm/  U=kTNAm/=RT.

Для гелия ==1370 м/с; для азота: ==517 м/с.

Гелий - одноатомный газ, следовательно, i=3, тогда

n1=n2=1 =kT=6,2.10-21Дж; U1=(3/2)(m/1)RT=9,35.104Дж.

Азот - двухатомный газ, следовательно, i=5 и

2 =kT=10,4.10-21Дж; U2=(5/2)(m/2)RT=2,23.104Дж.

Задачи.

2.1. Найти массу атома: а) водорода; б) гелия.

2.2. Сколько атомов ртути содержится в воздухе объемом 1 м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре 20оС, если давление насыщенного пара ртути при этой температуре 133 мПа?

2.3. В сосуде вместимостью 2,24 л при нормальных условиях находится кислород. Определить количество вещества и массу кислорода, а также концентрацию его молекул в сосуде.

2.4. В колбе вместимостью 100 см3 содержится некоторый газ при температуре 300 К.. На сколько понизится давление в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет 1020 молекул?

2.5. Концентрация молекул неизвестного газа при нормальных условиях равна 2,7.10-25 м-3. Этот же газ при температуре 910С и давлении 800 кПа имеет плотность 5,4 кг/м3. Найти массу молекулы этого газа.

2.6. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекул водяного пара при температуре 600 К. Найти также кинетическую энергию поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества 1 кмоль.

2.7. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре 400 К.

2.8. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул водорода, содержащихся в 1 моле при 18оС.

2.9. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре 286 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул этого газа, если его масса 4 г.

2.10. Определить кинетическую энергию, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре 1кК, а также среднюю кинетическую энергию поступательного движения, вращательного движения и средне значение полной кинетической энергии молекулы.

2.11. Колба вместимостью 8 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлением 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

2.12. Найти концентрацию молекул кислорода, если давление его 0,2 МПа, а средняя квадратичная скорость молекул равна 700 м/с

2.13. В закрытом сосуде находится идеальный газ. На сколько процентов изменится давление газа, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличится на 20%?

2.14. В сосуде объемом 2 л находится 10 г кислорода при давлении 90,6 кПа. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, число молекул, находящихся в сосуде, и плотность газа.

2.15. Частицы гуммигута диаметром 1 мкм участвуют в броуновском движении. Плотность гуммигута 1000 кг/м3. Найти среднюю квадратичную скорость частиц гуммигута при температуре 0оС.

2.16. Как изменится средняя квадратичная скорость молекул кислорода, находящегося в сосуде объемом 2,5 л при нормальных условиях, если газ расширяется до объема 5 л: а) изотермически; б) изобарически?

2.17. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки 10-8г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого равна 29.10-3 кг/моль.

2.18. В баллоне вместимостью 10 л находится газ, средняя кинетическая энергия всх молекул которого равна 7,5 кДж. Под каким давлением находится этот газ? Какова плотность этого газа, если скорость теплового движения его молекул равна 2400 м/с?

2.19 Вычислить наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул воздуха при 20оС.

2.20. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

2.21. В сосуде объемом 3 дм3 находится гелий массой 4 мг, азот массой 70 мг и 5.1021 молекул водорода. Каково давление смеси, если температура ее 27оС?

3. Распределение молекул по скоростям.

Барометрическая формула.

1. Число молекул, относительные скорости которых заключены в данном интервале N=.

Относительная скорость молекул u=/в, где в =– наиболее вероятная скорость.

2. Формула изменения концентрации молекул с высотой

, или .

Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести): , или ,

где р и ро - давление, n и nо - концентрация газа на высоте h и h0=0, g - ускорение свободного падения, - молярная масса газа, mо - масса одной молекулы.

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти число молекул водорода, заключенных в 1 м3 при нормальных условиях. Значения скоростей молекул лежат в интервале между 399 и 401 м/с.

Дано: V1=1м3, р=105Па; Т=273K, v1=399м/c; v2=401м/c

Найти: n=?

Решение. Искомое число молекул можно найти, исходя из распределения скоростей Максвелла: n=. Для всех газов при нормальных условиях число молекул в 1 м3 одно и то же и равно 2,7.1025 м-3 (число Лошмидта).

Вычислим значения величин, входящих в формулу Максвелла:

u=/в, в =, = (1+2)/2, =1 -2, u= /в.

=(399+401)/2=400 (м/с); =401–399=2(м/с);

в =(2.8,31.273/2)1/2=1496 (м/с); u=400/14960,27; u=2/1496=1,3.10-3.

n==4,85.1021 -3).

(Примечание: при вычислениях учесть разложение е – х  1 – х, справедливое при х << 1).

Задача 2. При какой температуре число молекул кислорода, обладающих скоростями в интервале 399-401 м/с, равно числу молекул со скоростями в интервале 699-701 м/с?

Дано: 1’=399 м/с; 1”=401 м/с; 2’=699 м/с; 2”=701 м/с; N1=N2.

Найти: Т - ?

Решение. Уравнение Максвелла для распределения молекул по скоростям для обоих случаев имеет вид:

; ,

где u1= 1/в; 1/в; u2= 2/в; u2= 2/в. По условию задачи левые части уравнений равны: .

Учитывая из условия, что u1=u2, после сокращения и перестановки имеем: Логарифмируя это равенство, получим:

2lg(u1/u2) =lg e, или, подставляя значения u, выраженные через  и в, и сокращая, получим: 2 lg(1/2)=( 12- 22) lge/в2 .

Откуда в2=(12 – 22) lg e / 2 lg (1/2). Но, т.к. в2=2RT/ , то T=в2/2R. Подставляя значение в2 в последнюю формулу, имеем:

Т=;

Задача 3. На какой высоте над уровнем моря атмосферное давление составляет 78 кПа, если температура воздуха 17оС и не меняется с высотой, а давление на уровне моря нормальное? Найти число частиц в единице объема (концентрацию молекул) на этой высоте.

Дано: Т=290К, р=7,8.104Па, р=1,013.105Па, =29.10-3кг/моль.

Найти: h - ? n - ?

Решение. Если температура не меняется с высотой, то для нахождения давления можно воспользоваться барометрической формулой: . Логарифмируя эту формулу, получим: lg(p/po)=–gh lg e/RT. Отсюда находим h:h= –RT lg (p/po)/(g lg e, ) h  2165 (м);

а концентрация молекул на этой высоте: n=p/kT n 1,98.1025-3)

Задачи.

Распределение молекул по скоростям.

3.1. Какова наиболее вероятная скорость молекул метана и гелия при температуре 127оС?

3.2. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул азота больше их наиболее вероятной на 50 м/с ?

3.3. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости молекул газа, который при давлении 40 кПа имеет плотность 0,3 кг/м3.

3.4. Какая часть молекул азота при температуре 150оС обладает скоростями от 300 до 325 м/с?

3.5. Какая часть молекул кислорода обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не больше чем на 10 м/с при температурах 0оС и 300оС?

3.6. Какая часть молекул водорода при температуре 27оС обладает скоростями, лежащими в интервале от 1995 до 2005 м/с ?

3.7. Найти отношение числа молекул водорода, скорости которых лежат в интервале от 1995 до 2005 м/с, к числу молекул, скорости которых лежат в интервале от 995 до 1005 м/с при температуре 27оС.

3.8. В баллоне объемом 10-2 м3 находится водород при температуре 273 К и давлении 105 Па. Найдите число молекул водорода, скорости которых отличаются на 0,1 % от: а) наиболее вероятной скорости; б) средней квадратичной скорости. Каково относительное число этих молекул.

Барометрическая формула.

3.9. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температуру считать всюду одинаковой и равной 0оС.

3.10. На какой глубине в шахте плотность воздуха увеличивается в 2 раза? Считать температуру воздуха в шахте постоянной и равной 0оС.

3.11. При подъеме вертолета на некоторую высоту барометр, находящийся в его кабине, изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление 100 кПа. Считать, что температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

3.12. На сколько уменьшится атмосферное давление при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту 100 м? Считать, что температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

3.13. В опыте, посредством которого Перрен определил число Авогадро, использовалась взвесь шариков гуммигута (=1254кг/м3) в воде. Температура взвеси равнялась 20оС. Радиус шариков 0,212 мкм. При перемещении тубуса микроскопа на h=30 мкм число шариков, наблюдавшихся в микроскоп, изменилось в 2,4 раза. Исходя из этих данных, найти число Авогадро NA.

3.14. Идеальный газ с молярной массой  находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота h, его давление на нижнее основание ро. Считая, что температура и ускорение свободного падения g не зависит от высоты, найти массу газа в сосуде.

3.15. Самое высокое место, обжитое человеком на земном шаре, находится на высоте 5200 м над уровнем моря. Самая глубокая в мире шахта имеет глубину 104м. На сколько отличается давление воздуха в этих местах? При расчете принять массу моля воздуха 0,029 кг/моль, температуру 273 К. Предположение об изотермичности атмосферы является грубым приближением, поэтому полученный ответ следует рассматривать лишь как оценку искомой величины.

3.16. Оцените среднюю температуру атмосферы Земли, зная, что на высоте 230 км плотность воздуха равна 10-10 кг/м3.

  1. По мере увеличения высоты h над уровнем моря (примерно до 10 км) температура воздуха изменяется по закону Т=То(1- аh), где а - постоянная величина. По какому закону меняется давление газа в зависимости от h? Давление воздуха на уровне моря равно ро.

  1. Том I культурология. Педагогика алматы  астана  баку  гродно  киев  кишинев  коламбия люденшайд  минск  невинномысск  ташкент  харьков  элиста 2010

    Документ
    В первом томе представлены доклады и сообщения студентов, аспирантов и молодых ученых учебных заведений и организаций Беларуси, Казахстана, Молдавии, Монголии, России,Узбекистана, Украины, посвященных проблемам культурологии и педагогики.
  2. Проблемы современного коммуникативного образования в вузе и школе (2)

    Документ
    Вершинина Г. Б., доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой теории и методики обучения русскому языку ГОУ ВПО «Кузбасская государственная педагогическая академия"

Другие похожие документы..