Программа дисциплины теория вероятностей и математическая статистика Рекомендована Методическим советом угту-упи для направления 654600 Информатика и вычислительная техника специальности 220100 вычислительные машины, комплексы, системы и сети

4.2. Содержание разделов дисциплины

Введение

Стохастические (случайные) явления, их основные признаки. История развития теории вероятностей как математической дисциплины. Математическая модель случайного явления.

Раздел 2. Случайные события и вероятности

Содержание учебного материала

Тема 2.1. Случайные события. Действия над событиями.

Пространство случайных событий, элементарное случайное событие (исход), сложное событие, достоверное событие, невозможное событие. Операции на пространстве событий: противоположное событие, сложение и умножение, свойства операций. Алгебра событий. Интерпретация формальных определений применительно к реальным объектам.

Практическое занятие №1

Случайные события, построение пространства элементарных событий.

Тема 2.2. Вероятность. Различные подходы к ее определению.

Статистический подход к определению вероятности. Частота случайного события, устойчивость относительной частоты, другие свойства. Классическое определение вероятности и его связь со статистическим. Некоторые комбинаторные формулы вычисления вероятности. Геометрические вероятности. Аксиоматический подход: определение вероятности, вывод основных свойств. Связь между различными подходами к вероятности.

Практическое занятие №2

Вычисление вероятностей по классической формуле с использованием комбинаторных моделей.

Тема 2.3. Основные формулы теории вероятностей.

Условная вероятность. Формула умножения. Независимые события, статистическая интерпретация. Теорема сложения. Последовательность испытаний, прямое произведение пространств, вероятность последовательности независимых испытаний. Вывод формулы Бернулли. Схема гипотез. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Практическое занятие №3

Решение задач на основные формулы: сложения и умножения.

Практическое занятие №4

Задачи на использование формулы полной вероятности, формулы Байеса. Задачи на использование схемы независимых испытаний Бернулли с непосредственным использованием формулы Бернулли и приближенных формул

Раздел 3. Случайные величины, законы распределения

Тема 3.1. Понятие случайная величина (СВ). Закон распределения.

Понятие случайная величина (СВ). Закон распределения. Дискретные и непрерывные СВ. Ряд распределения. Плотность вероятности. Функция распределения. Свойства этих функций и связь между ними. Общее определение СВ. СВ смешанного типа, примеры. Практическое занятие №5

Решение задач на законы распределения СВ. Плотность вероятности. Функция распределения.

Тема 3.2. Числовые характеристики СВ.

Числовые характеристики СВ. Математическое ожидание: определение, теоретико-вероятностный смысл, свойства. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение: определение, теоретико-вероятностный смысл, свойства. Моменты СВ.

Практическое занятие №6

Решение задач на числовые характеристики СВ.

Тема 3.3. Основные законы распределения, их применимость.

Некоторые законы распределения. Распределение Бер­нулли и Пуассона, связь между ними. Индикаторная СВ, числовые характеристики распределений Пуассона и Бернулли. Распределения равномерное, показательное, Симпсона. Нормальное распределение: плотность вероятности, функция распределения, параметры, основные свойства.

Практическое занятие №7

Решение задач на основные законы распределения СВ. Плотность вероятности. Функция распределения. Числовые характеристики.

Практическое занятие №8

Решение задач на свойства нормального закона распределения СВ. Плотность вероятности. Функция распределения. Вычисление вероятностей по таблицам.

Тема 3.4. Случайный вектор. Закон распределения, числовые характеристики, регрессия.

Случайный вектор - определение. Закон распределения двумерного случайного вектора. Условные и безусловные распределения составляющих, числовые характеристики, регрессия. Многомерные функция распределения и плотность вероятности, связь между ними, свойства.

Практическое занятие №9

Решение задач на законы распределения случайного вектора. Условные и безусловные законы распределения.

Тема 3.5. Статистическая зависимость СВ

Независимые СВ, критерий независимости, независимость и отсутствие причинно-следственной связи. Моменты случайного вектора, корреляционный момент. Коэффициент корреляции, вывод его свойств. Корреляционная зависимость.

Практическое занятие №10 Статистическая зависимость СВ

Раздел 4. Функции случайной величины и случайного вектора

Тема 4.1. Функция СВ. Закон распределения функции СВ.

Определение функции СВ. Закон распределения функции дискретной СВ. Плотность вероятности функции непрерывной СВ: случай монотонной функции, общий случай. Числовые характеристики функции СВ. СВ общего вида. Кусочно-постоянная функция СВ.

Тема 4.2. Функция случайного вектора.

Функция случайного вектора. Законы распределения суммы, произведения, частного СВ. Задача композиции, композиционная устойчивость законов распределения.

Практическое занятие №11

Задачи на вычисление числовых характеристик и нахождение законов распределения функций случайных величин.

Раздел 5. Закон больших чисел и предельные теоремы

Тема 5.1. Неравенство и теорема Чебышёва. Закон больших чисел в форме Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме.

Сходимость по вероятности. Неравенство и теорема Чебышёва. Закон больших чисел в форме Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме. Локальная и интегральная формулы Лапласа, их использование.

Практическое занятие №12

Решение задачи композиции для равномерного и показательного законов и их комбинации. Задачи на использование закона больших чисел, а также формул Лапласа.

Раздел 6. Случайные функции

Тема 6.1. Основные свойства случайных функций

Случайная функция: определение, реализация (траектория), сечение. Иерархия многомерных функций распределения. Характеристики случайной функции: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция, их свойства. Корреляционная теория случайных процессов. Задание случайной функции множеством реализаций. Канонические разложения. Сходимость в среднем. Дифференцирование и интегрирование случайных функций.

Практическое занятие №13 Основные свойства случайных функций

Тема 6.2. Стационарные случайные процессы.

Стационарные случайные процессы. Стационарность в узком и широком смысле. Свойства матожидания, дисперсии и корреляционной функции. Спектральное разложение. Спектральная плотность.

Практическое занятие №14. Стационарные случайные процессы

Раздел 7 Элементы математической статистики

Тема 7.1. Основные понятия и задачи математической статистики.

Выборка, генеральная совокупность. Варианта, вариационный ряд. Выборочный ряд распределения, интервальный ряд распределения. Характеристики выборки: выборочное среднее, выборочная дисперсия. Полигон и гистограмма. Выборочная функция распределения

Тема 7.2.. Оценки параметров распределения.

Точечная оценка параметров распределения. Требования: несмещеность, состоятельность и эффективность. Выборочное среднее - точечная оценка генерального среднего (матожидания), удовлетворяющая указанным требованиям. Исправленная дисперсия. Интервальная оценка: доверительный интервал, надежность. Распределения "хи-квадрат" и Стьюдента. Интервальная оценка параметров нормального распределения при известном и неизвестном другом параметре. Интервальная оценка параметра "р" распределения Бернулли.

Практическое занятие №15 Основные понятия описательной статистики. Оценка параметров нормального распределения.

Тема 7.3. Проверка статистических гипотез.

Проверка статистических гипотез: гипотеза простая и сложная. Критерий согласия, критическая область. Ошибки 1го и 2го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Сравнение средних нормально распределенных генеральных совокупностей. Поверка гипотезы о законе распределения с помощью критерия Пирсона, (применить к нормальному закону распределения).

Практическое занятие №16 Отработка задачи оценивания статистических гипотез.

Тема 7.4. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка .по коэффициенту корреляции. Понятие а нелинейной регрессии. Корреляционное отношение.

Практическое занятие №17 Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

Заключение. Обзор курса теория вероятностей. Использование изученного материала в специальных дисциплинах.

5. Лабораторный практикум

№ п/п

№ раздела дисциплины

Наименование лабораторных работ

1

7

Изучение статистической зависимости двух случайных величин.

6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

6.1. Рекомендованная литература.

а) основная литература;

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.

Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука.- 1988.

Гнеденко Б.В.

Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1988.-448 с.

Вентцель Е.С.

Теория вероятностей. - М.: Наука, 1964.

Чистяков В.П.

Курс теории вероятностей. - М.:Наука, 1982.

Гмурман В.Е.

Теория вероятностей и математическая статистика.1998

Гмурман В.Е.

Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 1998

б) дополнительная литература;

Ю.А. Розанов

Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика.-М. Наука, 1989.

А.Л.Крохин.

Сосновные формулы теории вероятностей: Домашнее задание по курсу “Высшая математика”/ Екатеринбург: УГТУ, 18с. 1995

А.Л.Крохин.

Случайные величины и функции случайных величин: Домашнее задание по курсу “Высшая математика”/ Екатеринбург: УГТУ, 18с. 1995

А.Л.Крохин.

Элементы теории случайных функций: Методические указания по курсу “Высшая математика Свердловск: УПИ, 20с. 1991.

8. Методические рекомендации

Составитель программы рассматривает курс ТВ и МС как особый в математической подготовке инженера, занимающий пограничную область между классическими математическими дисциплинами и специальными курсами. На протяжении всего курса выявляется двойственный характер всех понятий (случайное событие, вероятность, независимость и пр.), с одной стороны, имеющих строгие определения в рамках математической теории, а с другой - использующихся в естественнонаучных и прикладных дисциплинах. Поэтому на занятиях требуется отчетливо указывать - где и каким образом мы переходим от прикладной задачи к задаче формализованной, какие при этом делаем допущения и приближения. Желательно также проводить качественное обсуждение полученных результатов.

При решении задач по курсу особое внимание уделяется переходу от предметной, прикладной постановки задачи к выбору подходящей математической модели, постановке соответствующей математической задачи, применению методов решения и анализу полученных результатов. Такой подход к изложению курса позволяет сформировать у студентов четкое различение строгого математического формализма и результатов, полученных с его помощью, и качественных рассуждений в рамках прикладной задачи.

Изложение курса построено так, чтобы использовать уже изученные ранее математические понятия “в работе”. Постоянно показывается, как многие результаты могут быть получены в рамках известных студентам математических знаний, стимулируется самостоятельная работа. С этой целью подготовлены два ИДЗ, содержащие кроме стандартных и оригинальные задачи, решение которых требует детальной проработки лекционного материала, работы с литературой и элементов исследовательской деятельности. В завершении курса выполняется лабораторная работа по матстатистике на статистическом материале, подобранном индивидуально каждым студентом. При оформлении отчета по ЛР требуется четко поставить исследовательскую задачу, представить собранный статистический материал, вывести необходимые теоретические формулы, провести обработку результатов с помощью ЭВМ и, главное, сделать выводы по поставленной задаче.

Неотъемлемым этапом изучения материала является и подготовка к экзамену, на протяжении которой полученные в течение семестра знания переосмысливаются, систематизируются и закрепляются, и, собственно, экзамен. На экзамене предлагается и теоретический вопрос и задача, причем достаточно трудоемкая. Стрессовый характер предэкзаменационной подготовки и работы на экзамене стимулирует механизмы долговременной памяти и приводит к особенно сильному запечатлению в памяти соответствующих вопросов.

Программа составлена в соостветствии с Государственным обязательным стандартом высшего и среднего образования и учебным планам по направлению 654600 - Информатика и вычислительная техника, специальности 220100 - Вычислительные машины, комплексы, системы и сети, 220200 - Автоматизированные системы обработки информации и управления; для направления 651900 - Автоматизация и управление, специальности 210100 - Управление и информатика в технических системах; для направления 654300 - Проектирование и технология электронных средств; специальности 220500 - Проектирование и технология электронно-вычислительных средств, 200800 - Проектирование и технология радиоэлектронных средств; для направления 654700 - Информационные системы, специальности 071900 - Информационные системы в технике и технологиях; для направления 654200 - Радиотехника, специальности 200700 - Радиотехника; 200701 - Высококачественные средства радиосвязи и телевидения; 200702 - Радиоэлектроника информационных систем; 201600 - Радиоэлектронные системы; 201601 - Радиоэлектронные системы безопасности.

Программу составил:

Крохин Александр Леонидович, к.ф.-м. н., доцент, кафедра "Вычислительных методов и уравнений математической физики".

Программа одобрена на заседании кафедры "Вычислительных методов и уравнений математической физики" 23.05.01 протокол № .

Заведующий кафедрой Репницкий В.Б.

Программа одобрена на заседании Методической комиссии радиотехнического факультета

Председатель Методической комиссии

Аннотация содержания дисциплины

Курс ТВ и СМ содержит логические и понятийные основы математического описания и моделирования стохастических явлений: случайные события и вероятность, основные свойства и формулы для подсчета вероятностей, случайные величины и функции случайных величин, случайные процессы, основные задачи математической статистики. Ориентированный преимущественно на подготовку инженеров, данный курс по уровню строгости изложения соответствует принятому в технических вузах. Особое внимание уделяется переходу от предметной, прикладной постановки задачи к выбору подходящей математической модели, постановке соответствующей математической задачи, применению методов решения и анализу полученных результатов. Такой подход к изложению курса позволяет сформировать у студентов четкое различение строгого математического формализма и результатов, полученных с его помощью, и качественных рассуждений в рамках прикладной задачи.

  1. Рабочая программа дисциплины моделирование систем сд. 03

    Рабочая программа
    Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования направления 654600 «Информатика и вычислительная техника» (регистрационный номер от ) и учебным планом специальности

Другие похожие документы..