Лекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии. 2

Лекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии. 2

Лекция №2. Свойства скалярных и векторных полей. 7

Лекция №3. Визуализация скалярных полей. 8

Лекция №4. Визуализация линий тока. (Визуализация векторных полей.) 15

Лекция №5. Множества Жюлиа, множество Мандельброта и их компьютерное представление. 18

19

Лекция №6. Системы итерированных функций (СИФ). 19

Лекция №7. Основные понятия, используемые при анализе изображений. 25

Лекция №8. Постановка проблемы выделения перепадов яркости и разрывов численного решения. 26

Лекция №9. Этапы обработки изображений. 26

Лекция №10. Выделение разрывов в численном решении. 28

Лекция №11. Выделение разрывов в трехмерном численном решении. 31

Лекция №12. Классификация разрывов численного решения. 32

Вариант теоретической части экзамена. 36

Примеры экзаменационных заданий. 39

Приложение. Краткие сведения OPENGL. 40

Рекомендуемая литература. 57

Лекция №1. Введение. Элементы дифференциальной геометрии.

Введение в визуализацию. Обзор прикладных графических пакетов. Пространственные кривые. Поверхности. Квадратичные формы поверхности. Кривизна. Главные кривизны. Средняя и полная кривизны.

Компьютерная графика, ставшая самостоятельным научным направлением, проникает сегодня во все сферы интеллектуальной деятельности человека, включая кино и телевидение, издательские системы, космос и авиацию, медицину, экологический мониторинг, научные исследования и образование. Многие алгоритмы машинной графики названы по фамилиям авторов – алгоритмы отсечения Сазерленда (Sazerland), прямые Брезенхейма и Брассини, кривые Безье, поверхности Кунса, Цао Ена и т.д. Этот список постоянно пополняется новыми алгоритмами, и соответственно именами их авторов.

Научный аспект компьютерной графики связан с моделированием динамических процессов, диагностикой и распознаванием образов.

Традиционными объектами для методов визуализации являются скалярные и векторные поля, поскольку именно в терминах таких полей описываются решения задач, которые интересуют исследователей. Скалярными полями представляются, например, температура, плотность и давление, векторными – скорость, напряженности электрического и магнитного поля. Минимальная размерность евклидова пространства, содержащего область определения поля, называется размерностью поля и определяет сложность визуализации. Наиболее распространенные задачи оперируют с двух- и трех- мерными объектами, однако существуют задачи, требующие изучения полей большей размерности, в частности, задача тензорной геометрии. В зависимости от изучаемого явления, наряду с самим полем, исследователя могут интересовать отдельные характеристики этого поля. Приведем несколько простых иллюстрирующих примеров.

  • При обработке рентгеновского снимка врача интересуют области наибольшей плотности, соответствующие патологическим явлениям.

  • При изучении аэродинамического обтекания автомобиля инженерами исследуются режимы образования рециркуляционных зон в зависимости от скорости обтекания.

Из вышеперечисленного можно сделать вывод, что объекты, представляющие интерес для исследователя, существенно зависят от изучаемой задачи и для каждого конкретного случая при визуализации необходимо смещать акценты в зависимости от выбора проблемы. Естественно, существует набор методов визуализации, предлагаемый стандартными пакетами программ. Каждый конкретный пользователь такого пакета должен выбрать подходящий ему метод или комбинацию методов, наиболее адекватно изображающие искомые характеристики изучаемого объекта.

Кратко опишем возможности некоторых распространенных пакетов программ.

  • ПакетIDL (Interactive Data Language) обладает большими графическими возможностями, которые делают его в некотором смысле универсальным. Он позволяет создать индивидуальную графическую среду для конкретной задачи. В частности, в рамках этого пакета возможно:

  • построение графиков разнообразных функций одной переменной;

  • использование различных типов осей;

  • построение графиков функций и поверхностей в различных системах координат;

  • использование специальных видов графического представления функции (точки массива, векторные графики, линии уровня)

  • определение системы координат пользователем;

  • графическое изображение трехмерных поверхностей с функциональной закраской;

  • визуализация решений обыкновенных дифференциальных уравнений;

  • построение пересекающихся в пространстве объектов;

  • построение трехмерных объектов;

  • задание и создание своей палитры;

  • создание своего визуализационного окна;

  • импортирование графиков из других пакетов и программных систем;

  • анимационное представление графических зависимостей;

  • создание и проигрывание анимационных файлов.

Отличительная особенность IDL заключается в переносимости на различные платформы. Кроме того система обладает

  • мощным и лаконичным языком программирования;

  • редактором для подготовки и редактирования документов и программ;

  • современным многооконным пользовательским интерфейсом с возможностью работы в диалоговом режиме;

  • подробной информативной справочной системой;

  • способностью обеспечивать многопользовательскую поддержку.

  • Maple – система компьютерной математики, которая позволяет выполнять не только символьные, но и численные расчеты, причем это сочетается с превосходной графикой.

Эта система включает в себя

  • мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

  • редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

  • современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

  • мощную справочную систему;

  • ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

  • численный и символьный процессоры;

  • систему диагностики;

  • библиотеки встроенных и дополнительных функций;

  • пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Синтаксис структурных операторов языка Марle напоминает смесь Бейсика и Паскаля.

Остановимся на основных графических возможностях пакета Maple.

  • построение графиков многих функций одного переменного;

  • различные типы осей (с линейным и логарифмическим масштабом);

  • графики функций в декартовой и полярной системе координат;

  • специальные виды графиков (точки массива, векторные графики, линии уровня)

  • системы координат, определяемые пользователем;

  • графики трехмерных поверхностей с функциональной закраской;

  • графики, представляющие решения дифференциальных уравнений;

  • построение пересекающихся в пространстве объектов;

  • задание палитры;

  • импорт графиков из других пакетов и программных систем;

  • анимация графиков;

  • создание и проигрывание анимационных файлов.

  • Matlab – ядро Марle используется и в пакета Matlab.

Для описания методов визуализации необходимо абстрагироваться от конкретной задачи и перейти к каким-то достаточно универсальным математическим объектам.

Скалярные и векторные поля наиболее подходят для этих целей. С их помощью мы может формулировать методы изображения, не вдаваясь в природу исследуемого процесса и объекта. Любое скалярное поле, будь то плотность вещества или давление, при визуализации изображается одинаковым образом, затем производится, если это необходимо, дополнительная обработка в зависимости от цели исследования. Таким образом, необходимо ввести некоторые понятия из дифференциальной геометрии и теории векторных полей.

Будем говорить, что в трехмерном евклидовом пространстве задана гладкая или регулярная поверхность S, если задано векторное уравнение , U и V - интервалы изменения переменных u, v, и существуют непрерывные производные , удовлетворяющие условию . Для каждой точки регулярной поверхности существует, причем единственная, касательная плоскость, определяемая уравнением . В каждой точке регулярной поверхности S существует единственная прямая, проходящая через перпендикулярно к касательной плоскости, которая называется нормалью. Вектор единичной нормали , тогда уравнение нормали можно записать в виде .

Для регулярной поверхности S можно ввести понятия ориентированного элемента поверхности, являющегося вектором , и просто элемента площади .

Если на поверхности S рассматривается кривая то естественно ввести следующие величины: дифференциал радиус-вектора квадрат дифференциала длины дуги

(1),

где

Формула (1) задает первую основную квадратичную форму поверхности, которая всегда является положительно определенной.

В каждой точке кривой вектор кривизны может быть единственным образом представлен в виде суммы двух векторов, один из которых лежит в касательной плоскости, а другой направлен вдоль нормали к поверхности S .

N-единичный вектор нормали к поверхности, n-единичный вектор главной нормали кривой С.-кривизна проекции, кривой С на касательную плоскость, -кривизна нормального

сечения.

Для того чтобы записать выражение в криволинейных координатах u,v рассмотрим дифференциал и введем обозначения

,

тогда

Все производные во второй квадратичной форме берутся в точке (u,v).

В этих обозначениях кривизна нормального сечения в точке (u,v) поверхности S имеет вид . Точка поверхности, в которой имеет одно и то же значение для всех нормальных сечений (L:M:N=E:F:G) называется омбилической. В каждой неомбилической точке существуют два нормальных сечения, которым соответствуют наибольшая и наименьшая величина кривизны - главные кривизны поверхности S в точке (u,v). Плоскости главных нормальных сечений взаимно перпендикулярны. Величины являются собственными числами обобщенной задачи и собственными значениями матрицы (A-kB), где , .

Симметрические функции , называются соответственно средней и полной кривизной.

Как известно, величины H, K, и не зависят от выбора криволинейных координат.

В зависимости от того будет ли квадратичная форма определенной, полуопределенной или неопределенной в точке (u,v), эта последняя является

  • эллиптической точкой, в которой ( все нормальные сечения выпуклы или вогнуты, пример – точки эллипсоида);

  • параболической точкой (пример – точки цилиндра);

  • гиперболической точкой (пример – точки однополостного гиперболоида).

Лекция №2. Свойства скалярных и векторных полей.

Векторные поля. Теоремы о дивергенции, роторе и связанные с ними свойства скалярных и векторных полей. Теорема Гельмгольца.

По определению скалярное поле есть скалярная функция вместе с областью определения аргументов. Поверхности называются поверхностями уровня (изоповерхностями). Они позволяют геометрически представить структуру скалярного поля.

Векторное поле задается векторной функцией вместе с областью определения аргументов. Силовые (векторные) линии в каждой точке имеют направление вектора поля и определяются дифференциальными уравнениями . Векторное поля может быть геометрически представлено своими векторными линиями, относительная плотность которых в каждой точке пропорциональна .

В прямоугольной декартовой системе координат линейный оператор определяется формулой

Градиент скалярной функции точки есть векторная функция точки .

Дивергенция векторной функции точки есть скалярная функция точки, определяемая как .

Ротор векторной функции точки есть векторная функция точки, определяемая как .

Напомним важнейшие теоремы векторного анализа.

Предполагаем, что область V является ограниченной и односвязной, поверхность S замкнутая и регулярная, а все функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области .

  1. .

  2. .

Если векторная функция однозначна и имеет непрерывные частные производные в конечной односвязной области V, лежащая в области V поверхность S односвязна и регулярна и ограничена замкнутой регулярной кривой С, тогда верны следующие утверждения:

  1. , ориентация должна быть согласована с обходом контура.

  2. .

Векторное поле называется безвихревым в области V, если в каждой точке этой области Поле является безвихревым тогда и только тогда, когда - есть градиент некоторой скалярной функции в каждой точке области V. Функцию часто называют скалярным потенциалом безвихревого поля.

Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в каждой точке этой области Поле является соленоидальным тогда и только тогда, когда есть ротор некоторой функции точки в каждой точке области V. Функцию часто называют векторным потенциалом соленоидального поля.

Теорема Гельмгольца.

Пусть V – конечная открытая область пространства, ограниченная регулярной поверхностью S положительная которой непрерывна в каждой точке поверхности.

Если дивергенции и ротор определены в каждой точке rобластиV, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля .

.

  1. Базовая учебная программа дисциплины «дифференциальная геометрия и топология» для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика» Минск

    Программа дисциплины
    Дифференциальная геометрия и топология является одним из основных курсов, изучаемых студентами-математиками. Примечательная особенность этого курса - тесная связь и использование всех других фундаментальных математических курсов (аналитическая
  2. Лекции по тоэ

    Анализ
    Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются базовым общетехническим курсом для электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Курс ТОЭ рассчитан на изучение в течение трех семестров и состоит из двух основных
  3. Отчет кафедры дифференциальной геометрии и приложений и состоящей при кафедре

    Содержательный отчет
    А.А.Голованов, Д.П.Ильютко, Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко, Компьютерная геометрия: учебное пособие для студентов ВУЗов, Москва, издательский центр Академия, 2006.
  4. Лекция Вопросы: Аксиоматический метод в обучении математике

    Лекция
    В школьном обучении аксиоматический метод прежде всего выступает как метод изложения математического материала в виде цепочки последовательных дедуктивных умозаключений, опирающихся на некоторые основные понятия и положения и проводимых
  5. Учебно-методический комплекс по дисциплине алгебра и геометрия Специальность

    Учебно-методический комплекс
    Учебно-методический комплекс по дисциплине «Алгебра и геометрия» составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности: 230101, вычислительные машины,
  6. Лекция 1 1

    Лекция
    Производство материалов более высокого качества и максимальной чистоты и как следствие улучшение устаревшей технологии жизненно необходимо из-за конкуренции со стороны производителей.
  7. Конспект лекций по методам конечных элементов

    План-конспект
    На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики.
  8. Лекция 14 (1)

    Лекция
    Революции Февральская и Октябрьская свершились. Страна оказалась в хаосе Гражданской войны, в вихре идеологической борьбы, в гражданском противоборстве и интервенции.
  9. Лекция вводная (4)

    Лекция
    Введение в предмет Computational Neuroscience (вычислительная нейронаука). Истоки нейронауки: достижения биологии и физиологии, психологии, дискретная математики, кибернетики, статистической физики и синергетики.

Другие похожие документы..