Программа курса «комплексный анализ, часть 1»

ПРОГРАММА курса «КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ, часть 1»

(1 поток, 5 семестр, 2003 г., лектор – проф. Е.П. Долженко)

Введение

  1. Комплексные числа, комплексная плоскость. Модуль и аргумент. Однозначные непрерывные ветви аргумента. Метрика и топология плоскости. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость.

  2. Стереографическая проекция, ее формулы и свойства. Сфера Римана. Симметрии сферы Римана и отображение w=1/z. Угол с вершиной в бесконечности.

  3. Функции комплексного переменного. Предел функции, непрерывность, дифференцируемость, условия Коши-Римана. Правила дифференцирования. Аналитичность (голоморфность) в области и в точке (в том числе на бесконечности). Теорема Лумана-Меньшова (без доказательства). Понятие о полианалитических функциях.

  4. Геометрический смысл комплексной дифференцируемости. Конформное отображение, понятие о теореме Римана. Теоремы Х. Бора и Д.Е. Меньшова (без доказательства). Понятие о соответствии границ при конформном отображении, теореме Каратеодори, принципе симметрии, условиях нормировки конформного отображения.

Элементарные функции.

  1. Целые линейные и дробно-линейные отображения: свойство конформности и круговое свойство.

  2. Целые линейные и дробно-линейные отображения: сохранение сложного отношения четырех точек, однозначная определенность др.-лин. отображения тремя парами соответственных точек, неподвижные точки.

  3. Целые линейные и дробно-линейные отображения: свойство симметрии и групповые свойства.

  4. Целые линейные и дробно-линейные отображения: общий вид дробно-линейного отображения круга на себя, верхней полуплоскости на себя и на круг.

  5. Экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем. Понятие римановой поверхности на примерах этих функций.

  6. Функция Жуковского и обратная к ней функция.

  7. Функции тригонометрические и гиперболические, обратные к ним функции.

Интеграл о комплексному переменному

  1. Области и кривые. Кривая Пеано. Жордановы кривые и контуры. Жорданова кривая положительной площади. Спрямляемые кривые, натуральная параметризация.

  2. Интеграл по комплексному переменному, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го родов. Ограниченность интегрируемой функции, интегрируемость непрерывной функции на спрямляемой кривой.

  3. Линейность и непрерывность интеграла как функционала, его аддитивность по пути интегрирования. Переход к пределу под знаком интеграла.

  4. Сведение интеграла по комплексному переменному к интегралу по действительному переменному.

  5. Производная и первообразная вдоль пути. Формула Ньютона-Лейбница.

Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши

  1. Интегральная теорема Коши. Теорема Коши для составного контура.

  2. Вычеты, две теоремы Коши о вычетах. Интегральная формула Коши.

  3. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных.

  4. Теорема Мореры.

Последовательности и ряды аналитических функций.

  1. Пространство A(G) функций, однозначных и аналитических в области G, его счетно-нормируемость и метризуемость. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций. Полнота пространства A(G).

  2. Ряды по целым степеням (z-a), области их сходимости, аналитичность сумм.

  3. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана. Единственность разложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов. Теорема Лиувиллля, теорема Римана об устранимой особой точке.

  4. Связь величины радиуса сходимости степенного ряда и величин радиусов сходимости рядов Лорана с расположением особых точек сумм таких рядов. Поведение этих рядов на границах их областей сходимости.

  5. Действия со степенными рядами: арифметические действия, дифференцирование, интегрирование, ряд рядов, подстановка ряда в ряд, ряд обратной функции.

Теорема единственности и принцип максимума модуля.

  1. Нули аналитических функций, порядок нуля. Теорема единственности для аналитических функций.

  2. Принцип максимума модуля, его простейшие следствия. Лемма Шварца.

Изолированные особые точки однозначного характера.

  1. Изолированные особые точки однозначного характера, эквивалентность двух их классификаций.

  2. Полюс, порядок полюса. Существенно особая точка, теорема Сохоцкого-Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара. Бесконечно удаленная точка как особая.

Вычисление и применение вычетов. Принцип аргумента.

  1. Формулы для вычисления вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана.

  2. Логарифмический вычет. Способ вычисления нулей аналитической функции.

  3. Принцип аргумента, теорема Руше.

  4. Теорема Гурвица о нулях сходящейся последовательности аналитических функций. Последовательности однолистных функций.

Рекомендованная литература

Основная:

  1. Маркушевич А.И. «Краткий курс теории аналитических функций». М., 1978.

  2. Привалов И.И. «Введение в теорию функций комплексного переменного». М., 1984.

  3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. «Методы теории функций комплексного переменного». М., 1987.

  4. Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. «Сборник задач по теории аналитических функций». М., 1972.

  5. Долженко Е.П., Николаева С.Н. «Теория функций комплексного переменного. Методические указания». М., изд. МГУ, 1988.

Дополнительная:

  1. Маркушевич А.И. «Теория аналитических функций». М., т.1, 1967; т.2, 1968.

  2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. «Теория функций комплексного переменного». М., 1974.

  3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. «Лекции по теории функций комплексного переменного». М., 1989.

  4. Шабат Б.В. «Введение в комплексный анализ». М., т.1, 1976.

  5. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. «Сборник задач по теории функций комплексного переменного». М., 1975.

  6. Леонтьева Т.А., Панферов В.С., Серов В.С. «Задачи по теории функций комплексного переменного». М., изд. МГУ, 1992.

  1. Программа курса “ Мировая политика (Часть 1)”.

    Программа
    Курс Мировая политика (Часть 1) предназначен для студентов бакалаврского уровня, обучающихся по направлению «Международные отношения». Он может быть использован и при обучении бакалавров по направлению «Политологию», а также на различных
  2. Программа курса политический анализ и прогнозирование специальность «Политология»

    Программа курса
    Программа курса по дисциплине «Политический анализ и прогнозирование» соответствует государственному и внутриуниверситетскому стандартам по специальности – «Политология» и содержит необходимые сведения для изучения курса.
  3. Программа курса «гендерный анализ в экономической социологии» для специальности 020300 Социология 3-я ступень высшего (1)

    Программа курса
    «Гендерный анализ в экономической социологии» - одна из специальных дисциплин направления "Социология". Этот курс является продолжением изучения социально экономической проблематики современного общества и логически следует
  4. Программа курса «гендерный анализ в экономической социологии» для специальности 020300 Социология 3-я ступень высшего (2)

    Программа курса
    «Гендерный анализ в экономической социологии» - одна из специальных дисциплин направления "Социология". Этот курс является продолжением изучения социально экономической проблематики современного общества и логически следует
  5. Рабочая программа дисциплины «Комплексный анализ хозяйственной деятельности» Рекомендуется для направления подготовки 080200 менеджмент

    Рабочая программа
    Дисциплина «Комплексный анализ хозяйственной деятельности» является одной из экономических специальных дисциплин и опирается на теоретические основы таких дисциплин, как экономическая теория, право, ценообразование, мировая экономика,
  6. Примерная программа дисциплины ««Комплексный анализ хозяйственной деятельности» Рекомендуется для направления «Экономика»

    Примерная программа
    – Получение системного представления о комплексном подходе к оценке хозяйственной деятельности современного коммерческого предприятия, о методах аналитического обоснования управленче­ских решений.
  7. Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «комплексный анализ хозяйственной деятельности» кафедра «бухгалтерский учет, аудит и статистика» (1)

    Учебно-методический комплекс
    Учебно-методический комплекс (УМК) – совокупность учебно-методических материалов, способствующих эффективному освоению студентами учебного материала, входящего в учебную программу дисциплины плана подготовки студентов по одной из специальностей
  8. Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «комплексный анализ хозяйственной деятельности» кафедра «бухгалтерский учет, аудит и статистика» (2)

    Учебно-методический комплекс
    Учебно-методический комплекс (УМК) – совокупность учебно-методических материалов, способствующих эффективному освоению студентами учебного материала, входящего в учебную программу дисциплины плана подготовки студентов по одной из специальностей
  9. Рабочая программа дисциплины «Комплексный анализ хозяйственной деятельности» Направление подготовки: 080100 Экономика (1)

    Рабочая программа
    Целью преподавания дисциплины “Комплексный анализ хозяйственной деятельности“ является изучение студентами специальных приемов и методов анализа, теоретических основ экономического анализа, включающего управленческий анализ, анализ

Другие похожие документы..