Литература

Ускорение

Обозначим через и количество итераций обычного и многосеточного методов (4.3) на n-ом шаге по времени. Тогда среднее ускорение за три шага по времени будет равно: (4.4)

(8.5)

Ниже в таблицах 8.2-8.5 приведены результаты расчетов для наборов сеток из таблицы 8.1.

Таблица8.2. Число расчетных ячеек равно 282233.

Номер временного шага

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

1

165

51

3.23

2.93

2

106

38

2.79

3

75

29

2.58

Таблица8.3. Число расчетных ячеек равно 686358.

Номер временного шага

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

1

227

53

4.283019

3.86

2

145

36

4.027778

3

92

31

2.967742

Таблица8.4. Число расчетных ячеек равно 1699668.

Номер временного шага

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

1

343

69

4.97

4.84

2

185

38

4.87

3

145

32

4.53

Таблица8.5. Число расчетных ячеек равно 3410449.

Номер временного шага

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

1

407

71

5.732394

5.609589

2

259

42

6.166667

3

153

33

4.636364

На рис.8.4 показана зависимость среднего ускорения от размерности задачи. Как видим, среднего ускорение имеет устойчивую тенденцию к росту.

Рис. 8.4. Зависимость среднего ускорения от размерности задачи.

Ламинарное течение жидкости

Постановка задачи

Рассмотрим расчетную область, показанную на рис.8.5.

Рис. 8.5 Расчетная область.

В начальный момент времени жидкость находится в состоянии покоя.

Физические свойства:

(8.6) ,

Расчетная сетка

Рассмотрим параллелепипед, окаймляющий данную расчетную область - рис.8.2. Тогда по каждому из направлений (X, Y и Z) введем равномерную сетку, с количеством делений по каждому направлению , и соответственно. В таблице 8.6 приведены наборы различных расчетных сеток.

Таблица8.6. Набор расчетных сеток.

Номер сетки

Количество расчетных ячеек

1

92x92x92

282233

2

132x132x132

827411

3

152x152x152

1261766

4

188x188x188

2381725

Поведение решения

Рассмотрим поведение решения данной задачи во времени. Временной шаг интегрирования был постоянным и равен 0.01.

Ниже на рис.8.6 показана заливка модуля скорости в момент времени .

Рис. 8.6. Заливка модуля скорости в момент времени .

Ускорение

Обозначим через и количество итераций обычного и многосеточного методов (4.3) для соответствующего уравнения. Тогда среднее ускорение будет равно:

(8.5)

Ниже в таблицах 8.7-8.10 приведены результаты расчетов на момент времени для наборов сеток из таблицы 8.6.

Таблица8.7. Число расчетных ячеек равно 282233.

Имя уравнения

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

X-компонента скорости

37

25

1.4

3.07

Y-компонента скорости

37

25

Z-компонента скорости

41

32

Давление

512

122

4.2

Таблица 8.8 Число расчетных ячеек равно 827411.

Имя уравнения

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

X-компонента скорости

67

24

2.29

3.68

Y-компонента скорости

64

32

Z-компонента скорости

64

29

Давление

582

126

4.62

Таблица 8.9. Число расчетных ячеек равно 1261766.

Имя уравнения

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

X-компонента скорости

76

36

2.12

4.12

Y-компонента скорости

81

43

Z-компонента скорости

83

34

Давление

682

111

6.14

Таблица 8.10. Число расчетных ячеек равно 2381725.

Имя уравнения

Количество итераций

Ускорение

Среднее ускорение

обычный метод

многосеточный метод

X-компонента скорости

109

43

2.75

4.31

Y-компонента скорости

120

36

Z-компонента скорости

110

44

Давление

852

153

5.57

На рис.8.7-8.9 показаны зависимости ускорения от размерности задачи для компонент скорости и давления, а также среднее ускорение. Как видим, среднее ускорение выходит на асимптотическое значение 4.5.

Рис. 8.7. Зависимость ускорения от размерности задачи

Рис. 8.8. Зависимость ускорения от размерности задачи

Рис. 8.9. Зависимость среднего ускорения от размерности задачи

9. Заключение

Таким образом, в данной работе на примере решения уравнений Навье-Стокса и уравнения теплопроводности была продемонстрирована эффективность многосеточного метода. Результаты расчетов показывают, что достигается ускорение более чем в 3÷4 раза. При этом наблюдается тенденция увеличения коэффициента ускорения с ростом количества расчетных ячеек.

Предложенный многосеточный метод был реализован в программном комплексе FlowVision, что позволило проверить его робастность на различных задачах с учетом сложных трехмерных геометрий расчетной области.

Полученный опыт применения данного многосеточного метода дает основание утверждать, что ускорение может быть достигнуто для любого итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений.

10. Литература

  1. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, 1961, т.1, №5

  2. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // ЖВМ и МФ, 1964, т.4, №3

  3. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – М.: Изд. МФТИ, 1994.

  4. Бахвалов Н.В. О сходимости одного релаксационного метода // ЖВМ и МФ, 1966, т.6, №5

  5. Шайдуров В. Многосеточные методы конечных элементов. – М.: Наука, 1972

  6. Brand A. Multi-level Adaptive Computations in Fluid Dynamics // AIAA J., 1980, vol.18, pp.1165-1172

  7. Hackbush V., Trottenberg U. Multigrid Methods. – Lecture Notes in Math. 960, Spinger Verlag, 1982

  8. Mijalcovic S., Joppich W. Multigrid method for process Simulation. – Series “Computational Microelectronics” edited by S.Selberherr, Spinger Verlag, New York, Vienna, 1993

  9. Preprints about Multigrid – /mgnet-papers.html

  10. Multigrid Tutorials – /mgnet-tuts.html

  11. Multigrid Bibliography – /mgnet-bib.html

  12. Аксенов А.А., Гудзовский А.В. Программный комплекс FlowVision для решения задач аэродинамики и тепломассопереноса методами численного моделирования// Третий съезд Ассоциации инженеров по отоплению, вентиляции, кондиционированию воздуха, теплоснабжению и строительной теплофизике (АВОК), 22-25 сент. 1993, Москва, Сб. докладов, С. 114-119.

  13. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы – М.: Мир, 1986

  1. Литература.

    Литература
    3 Дорман, В. Н.Совершенствование управления затратами предприятия посредством углубления процессов бюджетирования Финансовый менеджмент.-2003г.-№5-стр.
  2. Литература (41)

    Литература
    Banerji A., Archeological History of Mewar-I (from 3rd Century B. C. to C. 300 A. D.), — «Journal of the Oriental Institute University of Baroda». 1963, June.
  3. Литература 1 (1)

    Литература
    11. «Под всеми всадниками были все как один бурые аргамаки. Впереди других понесся витязь всех бойчее, всех красивее». Это в повести Н. В. Гоголя «Тарас Бульба» описание
  4. Литература 1 (19)

    Литература
  5. Литература 1 (14)

    Литература
    К/ф построен в форме диалога А. П. Чехова с современниками, позволяет учащимся ощутить гуманизм и человечность великого писателя. Использованы фрагменты из художественных фильмов :
  6. Литература 

    Литература
    ЛИТЕРАТУРА В соответствии с Положением о государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 и 11(12) классов общеобразовательных учреждений форму проведения устных экзаменов устанавливает общеобразовательное учреждение.
  7. Литература и программные продукты для подготовки к цт 

    Литература
    Централизованное тестирование. Английский язык : сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. — Минск : Аверсэв, 2008. — 95 c.
  8. Литература к книге «Современники о маршале Рокоссовском»

    Литература
    "Роман газета" № 5 98г. И№ 7 1998 г. Алексеев Сергей. Богатырские фамилии. Москва 1991г. Алексиевич С. У войны неженское лицо./Имя его известно.
  9. Литература. 10 класс ( 2 урока). Тема: значимость художественной детали в романе Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание» тексте. Идейно- художественное значение эпизода «Сон Раскольникова» ( ч I гл. 5). Связь сна Раскольникова с идеей романа

    Литература
    Тема: значимость художественной детали в романе Ф.М. Достоевского «Преступление и наказание» тексте. Идейно- художественное значение эпизода «Сон Раскольникова» ( ч I гл.
  10. Литература по курсу «Введение в искусство»

    Литература
    27. Цвет, значение колорита. Светотеневая моделировка формы, линейная, воздушная, обратная перспективы, фактурная поверхность картины – средства эмоционального воздействия живописи.

Другие похожие документы..