Врамках всероссийского Конкурса ученических рефератов «Кругозор»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №15

им. Г. Е. Николаевой, города Томска.


Тема реферата:

В рамках всероссийского Конкурса ученических рефератов «Кругозор»,

Организатор: Центр новых образовательных технологий ТГПУ

Автор:

ученица 10 А класса

Панькова Мария Константиновна.

Руководитель:

учитель математики

Аникина Лидия Анатольевна

2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Глава I. Леонардо из Пизы 4

Глава II. Последовательность чисел Фибоначчи 5

§1. Задача о кроликах 5

§2. Последовательность Фибоначчи и пирамиды. 7

§ 3. Золотое сечение и числа Фибоначчи 8

§ 4. Спираль и числа Фибоначчи. 10

П 4.1 Построение спирали 10

П 4.2 Галерея спиралей вокруг нас 11

§ 5 Числа Фибоначчи в математике 13

П 5.1. Треугольник Паскаля 13

П 5.2. Парадокс с площадью 15

П 5.3. Интересные свойства чисел Фибоначчи 17

Заключение 19

Список литературы 20

Интернет ссылки 20

Введение

Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Винер Н.

Эти слова Винера как нельзя лучше отражают назначение математики. Считается, что математика – это наука неоспоримых фактов, строгих формул и законов. Именно в этой строгости, лаконичности скрывается порой удивительная красота математики. В простых, привычных для нас предметах, явлениях мы совсем не замечаем математических закономерностей. В своей работе я хочу обратить внимание на то, как ряд чисел, полученный достаточно простым способом, предстает перед нами в удивительных образах.

Еще Гёте говорил о спиральности окружающего мира. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны, цветении розы, проявляет себя ряд Фибоначчи. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Получается, же эта спираль с использованием последовательности чисел Фибоначчи. Эта последовательность даёт такое соотношение, которым пользовались в Древнем Египте при строительстве одного из чудес света – пирамид в Гизе.

В данной работе мы рассмотрим числа последовательности Фибоначчи, их свойства, связь этих чисел с золотым сечением и спиралью Архимеда. Но не будем забегать вперед, расскажем обо всем по порядку.

Глава I. Леонардо из Пизы.

Пусть каждый математик работает в том направлении, к которому лежит его сердце.

Клейн Ф.

Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение. Такие имена как, Евклид, Архимед, Герон известны каждому образованному человеку.

Математика в эпоху средневековья развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало. Одним из выдающихся математиков того времени, можно считать итальянца Леонардо из Пизы, более известного под прозвищем Фибоначчи.

Родился Леонардо в итальянском городе Пиза, в семье купца. С детства он часто путешествовал с отцом по разным странам. Поэтому мальчик получил начальное образование в Алжире, где его наставниками были арабы.

От арабов Леонардо узнал о существовании индийской (ныне арабской) десятичной системы счисления с ее позиционными обозначениями и нулем. В то время в Европе была развита громоздкая римская система счисления. Фибоначчи видел превосходство десятичной системы над римской, поэтому горячо отстаивал преимущество десятичной системы и даже написал трактат по математике. Назывался он «Книга об абаке», его можно считать математической энциклопедией того времени. Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения известные на тот момент. Этот трактат сыграл значительную роль в развитии математики в Западной Европе. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими цифрами. В ней Фибоначчи впервые в Европе привел отрицательные числа, которые рассматривал, как “долг”, дал приемы извлечения кубических корней.

На современников его аргументы не произвели особого впечатления. Позднее в Европе книга стала учебником по десятичной системе счисления. Работа над книгой была закончена в 1202 году, но до нас дошло издание 1228 года.

Не смотря на то, что Фибоначчи внес существенный вклад в развитие математики, в наши дни он известен в основном потому, что живший в XIX веке французский математик Эдуард Люка назвал именем Фибоначчи последовательность чисел.

Глава II. Последовательность чисел Фибоначчи.

§1. Задача о кроликах.

Эта последовательность появляется в одной задаче, которую рассматривал Леонардо в «Книге об абаке». Вот эта задача, в том виде как её формулировал сам Фибоначчи.

"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения".

РЕШЕНИЕ:

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары (так как из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (потому что потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и так далее.

Итак, записывая количество пар кроликов в конце каждого из месяцев, получим такую последовательность

a1,а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10, а11, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Тогда количество кроликов в конце года, будет соответствовать 12-му члену полученной последовательности, т. е. числу 144.

Суть последовательности Фибоначчи в том, что, начиная с третьего члена, следующее число получается сложением двух предыдущих.

1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; … аn-1+an=an+1

В таблице приведены первые сорок чисел Фибоначчи.

номер

число

номер

число

номер

число

номер

число

1

1

11

89

21

10 946

31

1 346 269

2

1

12

144

22

17 711

2

2 178 309

3

2

13

233

23

28 657

33

3 524 578

4

3

14

377

24

46 368

34

5 702 887

5

5

15

610

25

75 025

35

9 227 465

6

8

16

987

26

121 393

36

14 930 352

7

13

17

1 597

27

196 419

37

24 157 817

8

21

18

2 584

28

317 811

38

39 088 169

9

34

19

4 181

29

514 229

39

63 245 986

10

55

20

6 785

30

832 040

40

102 334 155

§2. Последовательность Фибоначчи и пирамиды.

На самом деле данная последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. Об этом свидетельствует одна из загадочных пирамид в Гизе.

Пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Длина ребра пирамиды в Гизе равна 783,3 фута (238,7 м), высота пирамиды составляет 484,4 фута (147,6 м). Длина ребра, делённая на высоту, приводит к соотношению Ф=1,618.

Высота 484,4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) – это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые считают, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Исследования пирамиды в Гизе показали, какие обширные были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1,618 играет центральную роль. Это число напрямую связано с последовательностью Фибоначчи, вернее с одним из ее свойств.

  1. Публичный доклад муниципального общеобразовательного учреждения Пирочинская средняя общеобразовательная школа Коломенского муниципального района по итогам 2007 – 2008 учебного года

    Доклад
    Пирочинская средняя общеобразовательная школа расположена на юго-востоке Коломенского муниципального района в 4 км по Пирочинскому шоссе от автомобильной трассы Москва-Урал.
  2. Госдума РФ мониторинг сми 16 июня 2006 г

    Документ
    ВАСИЛИЙ ДУМА, ЗАМЕСТИТЕЛЬ ПРЕДСЕДАТЕЛЯ КОМИТЕТА СОВЕТА ФЕДЕРАЦИИ ПО ПРИРОДНЫМ РЕСУРСАМ И ОХРАНЕ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ: ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ШАНСОМ СТАТЬ ВЕЛИКОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ДЕРЖАВОЙ.

Другие похожие документы..